U5.3 · 浓度随时间的变化（积分速率定律、半衰期）练习题 · Concentration Changes Over Time (Integrated Rate Laws, Half-Life)

$t_{1/2}$ = 0.693 ÷ 0.0462 = 15.0 min。1/8 = (1/2)³，需要 3 个半衰期：3 × 15.0 = 45.0 min。一级反应的半衰期不随浓度变化，所以每个半衰期一样长。

一级反应：ln[A] = ln[A]₀ − kt，即 [A] = [A]₀$e^{-kt}$ = 0.500 × $e^{-0.0100 \times 60.0}$ = 0.500 × $e^{-0.600}$ = 0.274 mol/L。

二级反应：$\dfrac{1}{[A]} = \dfrac{1}{[A]_0} + kt$ = 1/0.400 + 0.150 × 50.0 = 2.50 + 7.50 = 10.0，[A] = 0.100 mol/L。

零级反应 [A] 匀速减少：$t_{1/2} = \dfrac{[A]_0}{2k}$，和 [A]₀ 成正比，[A]₀ 减半，半衰期也减半。对比：一级反应半衰期 $\dfrac{\ln 2}{k}$ 不变，二级反应 $\dfrac{1}{k[A]_0}$ 会加倍。

算 ln[A]：−1.61、−2.31、−3.01、−3.71、−4.41，每 20 min 都减少约 0.70，等间隔变化，ln[A]–t 是直线，是一级反应（斜率 = −k = −0.035 min⁻¹）。也可以看半衰期：约 2.0 × 10¹ min，始终不变。

在曲线上读数：t = 0、20、40、60 min 时 c(A) 约为 0.80、0.40、0.20、0.10 mol/L，每过 20 min 浓度减半，半衰期不随浓度变化，这是一级反应的特征（t½ = ln 2/k）。曲线越来越平，斜率在变小，不是零级；每次减少的量是 0.40、0.20、0.10，不相同，减少的“比例”才相同。二级反应的半衰期会越来越长。

ln[A] 对 t 是直线，说明是一级反应：ln[A] = ln[A]₀ − kt，斜率 = −k。取两个端点：(0, -0.69) 和 (80, -2.54)，斜率 = (-2.54 − (-0.69)) ÷ 80 = -0.0231 s⁻¹，k = 0.0231 s⁻¹。t½ = 0.693 ÷ 0.0231 ≈ 30 s。选 43 s 是算了 1/k，不是 ln 2/k。