量纲分析（多步换算） · 高中化学

不止换一步

1.1.4 节用一个换算因子就把 L 换成了 mL。可是很多问题要连换好几步：高速公路限速 115 km/h，合多少 m/s？长度和时间两个单位都要换。化学计算里这种情况更多：质量换成物质的量、再换成粒子数；体积换成质量、再换成物质的量……这一课学一种通用的方法，一步不乱地完成多步换算。

量纲分析

把单位当成代数式里的字母一样，参与乘除、可以约分。每个换算因子都等于 1，乘上去不改变大小，只改变单位。把几个换算因子连乘，让单位一个个约掉，最后只剩想要的单位，这种方法叫做量纲分析dimensional analysis，也叫因子标签法。

按下面几步来做：

写出已知量的数值和单位；
想好单位的路线，比如 km/h → m/h → m/s；
每一步选一个换算因子，让想约掉的单位一个在分子、一个在分母；
检查剩下的单位对不对，再计算数值，按有效数字修约。

115\ \frac{\cancel{\text{km}}}{\cancel{\text{h}}} \times \frac{1000\ \text{m}}{1\ \cancel{\text{km}}} \times \frac{1\ \cancel{\text{h}}}{3600\ \text{s}} = 31.9\ \frac{\text{m}}{\text{s}}

km/h 是复合单位，分子上的 km 和分母上的 h 都要换。换算关系 1 km = 1000 m、1 h = 3600 s 都是定义值，不限制有效数字，结果保留 115 的 3 位。

🔧 数学工具卡 · 单位与换算会了可以跳过

换算因子朝哪边放？ 想约掉哪个单位，就把它放在和它相反的位置：它在分子上，换算因子里它就写在分母上；它在分母上（比如 km/h 里的 h），换算因子里它就写在分子上。

面积和体积要平方、立方。 1 m = 100 cm，所以

1\ \text{m}^3 = (100\ \text{cm})^3 = 10^6\ \text{cm}^3

不是 100 cm³。另外 1 mL = 1 cm³，1 L = 1000 mL = 1 dm³。

把 2.5 m³ 换算成 cm³，应该乘以哪个换算因子？

用测量值作换算因子

不只是单位之间的换算关系，任何两个量之间的比值都可以作换算因子。最常用的是密度：乙醇的密度是 0.789 g/mL，意思是 1 mL 乙醇的质量是 0.789 g，可以写成

\frac{0.789\ \text{g}}{1\ \text{mL}} \quad \text{或} \quad \frac{1\ \text{mL}}{0.789\ \text{g}}

要从体积求质量用前一个，从质量求体积用后一个。和定义值不同，密度是测量出来的，有 3 位有效数字，会限制结果的有效数字。

美国日常生活中还在用英制单位，AP 考试不考，但读英文材料时会遇到：1 in = 2.54 cm（准确值），1 lb ≈ 453.6 g，1 mi ≈ 1.609 km。

选一道题，从换算因子库里挑卡片排成一串；卡片方向不对，就点 ⇅ 翻过来：

动手试试：从换算因子库里选卡片排成一串，让单位一个个约掉

换算因子库（点一下，加到算式末尾）：

例题 1：体积单位的换算

一个鱼缸的容积是 0.250 m³，合多少升？

分步解析

设计单位路线。 m³ → cm³（= mL）→ L。1 cm³ 和 1 mL 相等。
m³ 换成 cm³。 1 m = 100 cm，体积是长度的立方，换算因子也要立方：1 m³ = 100³ cm³ = 10⁶ cm³：
$\begin{aligned} & 0.250\ \text{m}^3 \times \frac{10^{6}\ \text{cm}^3}{1\ \text{m}^3} \\ &= 2.50 \times 10^{5}\ \text{cm}^3 \end{aligned}$
mL 换成 L。 2.50 × 10⁵ cm³ = 2.50 × 10⁵ mL：
$\begin{aligned} & 2.50 \times 10^{5}\ \text{mL} \times \frac{1\ \text{L}}{1000\ \text{mL}} \\ &= \boxed{2.50 \times 10^{2}\ \text{L}} \end{aligned}$
有效数字。 换算关系都是定义值，不影响位数，结果保留 0.250 的 3 位。写成 250 L 时末尾的 0 有歧义，所以用科学计数法。
检查。 1 m³ 是 1000 L，0.250 m³ 就是 250 L，和结果一致。
常见错误。 只乘 100（没有立方），得到 25 L。

例题 2：用密度换算

2.0 L 乙醇的质量是多少千克？（乙醇的密度为 0.789 g/mL）

分步解析

设计单位路线。 L → mL → g → kg。其中 mL → g 要用密度这个“换算因子”：1 mL 乙醇的质量是 0.789 g。
L 换成 mL。
$2.0\ \text{L} \times \frac{1000\ \text{mL}}{1\ \text{L}} = 2.0 \times 10^{3}\ \text{mL}$
用密度把体积换成质量。 密度写成 g/mL，让 mL 约掉：
$2.0 \times 10^{3}\ \text{mL} \times \frac{0.789\ \text{g}}{1\ \text{mL}} = 1578\ \text{g}$
g 换成 kg，再修约。 1578 g = 1.578 kg。2.0 有 2 位，0.789 有 3 位，两个 1000 是定义值，结果保留 2 位：
$m = \boxed{1.6\ \text{kg}}$
检查。 乙醇比水轻，2.0 L 水约 2.0 kg，乙醇应该少一些，1.6 kg 合理。

练一练：下面的换算因子方向对吗？

把 3.5 kg 换成 g，乘以 1000 g / 1 kg
把 250 mL 换成 L，乘以 1000 mL / 1 L
把 45 min 换成 h，乘以 1 h / 60 min
把 72 km/h 换成 km/min，乘以 60 min / 1 h
把 5.0 m 换成 cm，乘以 1 m / 100 cm
把 12 g/L 换成 g/mL，乘以 1 L / 1000 mL
把 2.0 m³ 换成 cm³，乘以 (100 cm / 1 m)³
乙醇的密度是 0.789 g/mL，把 50.0 g 乙醇换成体积，乘以 0.789 g / 1 mL
把 3.0 h 换成 s，乘以 3600 s / 1 h

常见误区

误区 1：换算因子方向写反。 写反了数值会差很多倍，但单位一检查就能发现：单位没有约掉，反而越乘越多。

误区 2：“1 m³ = 100 cm³。” 体积单位是长度单位的立方，换算因子也要立方：1 m³ = 10⁶ cm³。

误区 3：复合单位只换一半。 把 km/h 换成 m/s，只把 km 换成 m、忘了把 h 换成 s，结果就差了 3600 倍。每个单位都要检查一遍。

即时小测

2.5 m³ 合多少 cm³？

汽车的速度是 72 km/h，合多少 m/s？

小结

量纲分析：把换算因子连乘，想约掉的单位一个在分子、一个在分母，最后只剩想要的单位。先检查单位，再算数值。
复合单位的分子、分母都要换；面积、体积单位的换算因子要平方、立方：1 m³ = 10⁶ cm³。
密度等测量值也能作换算因子，它们的有效数字会限制结果；定义值是准确数，不限制结果。

通往 AP（以后再看）

AP 化学的计算几乎都可以写成一串换算因子：质量 → 物质的量 → 粒子数（2.6 节），溶液浓度、气体体积也是这样。AP 的简答题要写出计算过程，把每一步的单位写全并约掉，评分人一眼就能看懂你的思路，自己也不容易出错。

量纲分析（多步换算）Dimensional Analysis (Multi-Step Conversions)

学习目标

前置知识

不止换一步

量纲分析

用测量值作换算因子

例题 1：体积单位的换算

例题 2：用密度换算

常见误区

即时小测

小结

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