有效数字的运算规则Significant Figures in Calculations

大思想 · 数量与比例（SPQ）AP 科学实践 5 · 数学运算约 30 分钟

学习目标

  • 按乘除法、加减法的规则确定计算结果应保留的有效数字
  • 区分测量值和准确数（计数、定义值），知道准确数不限制结果的有效数字
  • 在多步计算中最后再修约，并会用科学计数法写出没有歧义的结果

前置知识

  • 测量的可靠性：精确度与准确度（1.1.5）

计算器给的数字太多了

用天平称得一块金属的质量是 15.42 g，用量筒测得它的体积是 6.3 mL。按下计算器，密度是 2.447619048 g/mL。可是量筒只能读到 0.1 mL，6.3 的最后一位本来就是估读的，算出来的结果不可能精确到小数点后第 9 位。计算结果能有几位有效数字，由参与计算的测量值决定。

先复习：数有效数字

1.1.5 节学过，有效数字是测量值中所有准确的数字加上最后一位估读的数字。

🔧 数学工具卡 · 有效数字会了可以跳过

数有效数字的规则：非零数字都有效；夹在中间的 0 有效；最前面的 0 不算；小数点后末尾的 0 有效；没有小数点的整数，末尾的 0 说不清是否有效，最好写成科学计数法。

试一试：输入一个测量值，看哪些数字是有效数字

2.050 × 10⁻³ 有几位有效数字？

乘法和除法：看位数

乘除运算的结果，有效数字的位数和参与运算的数中有效数字位数最少的那个相同：

15.42 g6.3 mL=2.447619… g/mL≈2.4 g/mL\frac{15.42\ \text{g}}{6.3\ \text{mL}} = 2.447619\ldots\ \text{g/mL} \approx 2.4\ \text{g/mL}

15.42 有 4 位有效数字，6.3 只有 2 位，所以结果保留 2 位。可以这样理解：结果的相对精确程度，不会比最粗糙的那个测量值更好。

加法和减法：看小数点后的位数

加减运算的结果，要和参与运算的数中小数点后位数最少（最不精确）的那个保留到同一位：

13.6 g+2.05 g=15.65 g≈15.7 g13.6\ \text{g} + 2.05\ \text{g} = 15.65\ \text{g} \approx 15.7\ \text{g}

13.6 只精确到十分位，它的百分位是多少根本不知道，所以和也只能精确到十分位。注意这里比的是小数点后的位数，不是有效数字的位数。

两个很接近的数相减时，有效数字会变少：25.67 g − 25.31 g = 0.36 g，两个数都有 4 位有效数字，差却只有 2 位。

准确数不限制结果

有两类数是没有误差的准确数exact number，可以看成有无限多位有效数字，不会限制计算结果：

  • 数出来的个数：3 枚铁钉、6 个苹果；
  • 定义出来的换算关系：1 m = 100 cm、1 L = 1000 mL、1 h = 60 min。

例如一枚铁钉的质量是 2.453 g，3 枚铁钉的总质量是 2.453 g × 3 = 7.359 g，保留 4 位有效数字，3 不算一位。

修约：四舍五入，最后再做

按上面的规则确定保留到哪一位以后，按四舍五入修约：要舍去的第一位数字小于 5 就舍去，大于或等于 5 就进一。

多步计算时，中间结果不要急着修约，可以多保留一两位，只在最后修约一次。比较一下 2.36 × 1.5 + 4.12：

  • 中间不修约：2.36 × 1.5 = 3.54（按规则只可靠到十分位），3.54 + 4.12 = 7.66，最后修约到十分位，得 7.7；
  • 中间先修约：3.54 先写成 3.5，3.5 + 4.12 = 7.62，修约后得 7.6。

过早修约，误差会一步步累积。

如果修约后的整数末尾是 0，最好写成科学计数法，让有效数字一目了然：3.0 × 820 = 2460，保留 2 位有效数字写作 2.5×1032.5 \times 10^3。

输入两个测量值，选一种运算，看看结果应该怎样修约；也试试勾选“准确数”：

动手试试：输入两个测量值，看计算结果应该保留几位

例题 1：计算密度

一块金属的质量是 15.42 g，体积是 6.3 mL，它的密度是多少？

分步解析

  1. 写公式，代入数据。 密度等于质量除以体积，先保留计算器上的全部数字：

    ρ=mV=15.42 g6.3 mL=2.4476… g/mL\begin{aligned} \rho &= \frac{m}{V} = \frac{15.42\ \text{g}}{6.3\ \text{mL}} \\ &= 2.4476\ldots\ \text{g/mL} \end{aligned}

  2. 判断结果保留几位。 乘除法按有效数字最少的那个数：15.42 有 4 位，6.3 只有 2 位，所以结果保留 2 位。

  3. 修约。 第 3 位数字是 4，小于 5，舍去：

    ρ=2.4 g/mL\rho = \boxed{2.4\ \text{g/mL}}

  4. 常见错误。 把计算器上的 2.4476 全写上。多写的数字不代表更精确，体积只量到 0.1 mL，结果不可能精确到 0.0001 g/mL。

例题 2：先减后除

空烧杯的质量是 47.92 g，放入少量食盐后总质量是 48.37 g。把这些食盐溶解后配成 25.00 mL 溶液，每毫升溶液中含食盐多少克？

分步解析

  1. 先做减法，按小数位数判断。 加减法看小数点后的位数：两个质量都精确到 0.01 g，差也精确到 0.01 g：

    m=48.37 g−47.92 g=0.45 gm = 48.37\ \text{g} - 47.92\ \text{g} = 0.45\ \text{g}

    0.45 只有 2 位有效数字（前面的 0 不算）。

  2. 再做除法，按有效数字判断。 0.45 有 2 位、25.00 有 4 位，结果保留 2 位：

    0.45 g25.00 mL=0.018 g/mL\frac{0.45\ \text{g}}{25.00\ \text{mL}} = \boxed{0.018\ \text{g/mL}}

  3. 想一想。 天平和容量瓶都很精确，结果却只有 2 位有效数字，是因为称的食盐太少，两个接近的数相减后有效数字变少了。多称一些食盐，或者用更精密的天平，结果就能更精确。

  4. 常见错误。 用“47.92 和 48.37 都有 4 位”来判断差的位数。加减法要看小数位数，不看有效数字。

练一练：计算结果应保留几位有效数字？
  1. 2.50 × 3.1
  2. 12.0 ÷ 4.000
  3. 一个苹果 0.152 kg，6 个苹果的总质量
  4. 0.0048 × 1.25
  5. 9.87 + 0.2
  6. 25.00 − 24.9
  7. 1.000 × 3.0
  8. 100.0 ÷ 2.50
  9. 8.314 × 298

常见误区

误区 1：“加减法也按有效数字的位数来定。” 加减法看的是小数点后的位数。100.0 + 0.123 = 100.123，按 100.0 修约到十分位得 100.1，有 4 位有效数字，比 0.123 的 3 位还多。

误区 2：“每算一步就修约一次。” 中间结果过早修约会让误差累积。多保留一两位，最后再修约。

误区 3：“3 枚铁钉里的 3 只有 1 位有效数字，所以结果只能保留 1 位。” 数出来的个数和定义的换算关系都是准确数，不限制结果的有效数字。

即时小测

长方形的长是 4.25 cm，宽是 2.1 cm，面积应写成？

13.6 g + 2.05 g + 0.112 g 的结果应写成？

小结

  • 乘除法：结果的有效数字位数和位数最少的那个数相同。
  • 加减法：结果和小数点后位数最少的那个数保留到同一位；相近的数相减，有效数字会变少。
  • 数出来的个数和定义的换算关系是准确数，不限制结果。按四舍五入修约，多步计算最后再修约，末尾的 0 有歧义时用科学计数法。
通往 AP（以后再看）

AP 的计算题要求按数据的精确程度报告答案，实验题还常问某个仪器的读数能精确到哪一位、结果应保留几位。对数运算有自己的规则：pH 小数点后的位数等于浓度的有效数字位数，2.12.3 节学 pH 时再讲。

练一练这一章：2.1 · 测量与计算 · 基础、中等、困难三档

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