差了 0.08，算多还是算少？
小组用天平和量筒测铝块的密度，得到 2.62 g/cm³，而铝的密度公认值是 2.70 g/cm³。差了 0.08 g/cm³，这个结果算好还是不好？如果测的是密度为 19.3 g/cm³ 的金，同样差 0.08 就几乎可以忽略了。要评价一个测量结果，不能只看差了多少，还要看差的部分占多大比例。
绝对误差和相对误差
把公认的准确数值叫做真实值accepted value（也叫公认值或理论值），实验得到的叫做测量值experimental value。
绝对误差带单位，相对误差是百分数，两者都带正负号：正号表示结果偏大，负号表示结果偏小。上面的铝块：
结果偏小了 3.0%。相对误差能比较不同的测量：测铝差 0.08 是 −3.0%，测金差 0.08 只有约 −0.4%。
中美两种写法。 美国教材常用 percent error百分误差，公式里的分子取绝对值，结果总是正数，偏大还是偏小另外说明：铝块的 percent error 是 3.0%，结果偏小。中国教材的相对误差保留正负号，一个数就说明了两件事。看英文材料时要注意这个区别。
多次测量：平均值和极差
一次测量难免有偶然的偏差，所以实验常常做几次，再取平均值。几次结果彼此越接近，测量越精确。可以用极差range（最大值 − 最小值）粗略地描述精确度：极差越小越精确。
要记住 1.1.5 节的区别：相对误差看的是平均值离真实值有多远，反映准确度；极差看的是几次结果彼此有多接近，反映精确度。多做几次取平均，可以减小随机误差，却消除不了系统误差。比如天平没有调零，每次都多称 1.00 g，测多少次都一样偏大。
误差分析：偏大还是偏小？
实验题常问：某个操作失误会使结果偏大还是偏小？方法是顺着计算公式推：
- 写出计算公式，例如 ；
- 找出这个失误影响了哪个测量值，是让它偏大还是偏小；
- 看这个量在公式里的位置：在分子上，结果跟着变；在分母上，结果反着变。
用量筒读数时，俯视读数偏大，仰视读数偏小。
先选一个误差来源，预测测得的密度会偏大还是偏小，再做几次实验验证：
用天平称出铝块的质量 m；量筒里先装水，读出体积 V₁，放入铝块后再读出 V₂。密度 ρ = m / (V₂ − V₁)。铝的密度公认值是 2.70 g/cm³。
① 选择实验条件：
② 预测测得的密度会：
| 次数 | m / g | V₁ / mL | V₂ / mL | V / cm³ | ρ / (g·cm⁻³) |
|---|
例题 1：计算相对误差
三次测得铝块的密度分别是 2.62、2.65、2.59 g/cm³，公认值是 2.70 g/cm³。求平均值、极差和相对误差。
-
平均值。 三次结果相加再除以 3：
-
极差（衡量精密度）。 最大值减最小值：2.65 − 2.59 = 0.06 g/cm³。三次结果很接近，测量比较精密。
-
相对误差（衡量准确度）。 相对误差 =（测量值 − 公认值）÷ 公认值 × 100%，用平均值作测量值：
-
解读符号。 负号表示结果偏小了 3.0%。美国教材的 percent error 一般取绝对值，写作 3.0%（偏小）。
-
结论。 几次结果都偏小、彼此又很接近：精密度高但准确度不够，很可能存在系统误差（比如天平没有调零）。多做几次不能消除系统误差。
例题 2：判断误差的方向
用排水法测金属块的体积，放入金属块后仰视读出 V₂。测得的密度会偏大还是偏小？
-
写出公式，找出测量量。
-
判断哪个测量值偏了、往哪个方向偏。 仰视时视线从下往上，读到的刻度比液面实际位置低，所以 V₂ 偏小。
-
传到中间量。 V₁ 不受影响，V = V₂ − V₁ 也偏小。
-
传到结果。 V 在分母上，分母偏小，ρ 偏大。
-
方法。 误差分析分三步：哪个测量值偏了 → 它在公式里的位置（分子还是分母，加还是减）→ 结果偏大还是偏小。
- 天平没有调零，空盘时读数为 0.50 g
质量 m 偏大，在分子上，ρ 偏大。
- 金属块表面附着了气泡
气泡也排开了水，体积 V 偏大，在分母上，ρ 偏小。
- 放入金属块时有水溅出
V₂ 偏小，体积 V 偏小，ρ 偏大。
- 放入金属块后俯视读出 V₂
俯视读数偏大，V₂ 偏大，V 偏大，ρ 偏小。
- 先测体积，再把沾着水的金属块拿去称质量
沾的水也被称进去，m 偏大，ρ 偏大。
- 放入金属块之前俯视读出 V₁
V₁ 偏大，V = V₂ − V₁ 偏小，ρ 偏大。
- 读 V₁ 和 V₂ 时都俯视，而且偏差相同
两次读数偏大的量相同，相减后抵消，V 基本不受影响。
- 换一块更大的同种金属来测
密度是物质的性质，和金属块大小无关；块大一些，相对误差反而更小。
- 量筒里原来的水多装了一些（没有超过量程）
V = V₂ − V₁，原来的水量相减时消掉了。
常见误区
误区 1：“有误差就是实验做错了。” 任何测量都有误差。操作失误（读错数、算错）是错误，应该避免；误差只能减小，不能完全消除。
误区 2：“几次结果彼此很接近，相对误差就一定很小。” 几次结果接近只说明精确，不一定准确。有系统误差时，结果可以每次都偏离真实值同样多。
误区 3：“多做几次取平均，什么误差都能消除。” 取平均只能减小随机误差。天平没调零、每次都俯视读数这样的系统误差，要找到原因、改进方法才能消除。
即时小测
测得某金属的密度为 8.75 g/cm³，公认值为 8.96 g/cm³，相对误差约为？
(8.75 − 8.96) ÷ 8.96 × 100% = −2.34% ≈ −2.3%，负号表示结果偏小。美国教材的 percent error 写作 2.3%。
下列误差中，可以通过多次测量取平均值来减小的是？
估读带来的偏差时大时小，属于随机误差，取平均可以减小。其他三项每次都朝同一个方向偏，是系统误差。
小结
- 绝对误差 = 测量值 − 真实值；相对误差 = 绝对误差 ÷ 真实值 × 100%，正号偏大、负号偏小。美国教材的 percent error 取绝对值，方向另外说明。
- 平均值和真实值的差反映准确度；极差反映精确度。取平均能减小随机误差，不能消除系统误差。
- 判断误差方向：顺着公式推，受影响的量在分子上，结果跟着变；在分母上，结果反着变。
通往 AP（以后再看）
AP 的实验题几乎每年都会问：“某个失误会使算出的结果偏大、偏小还是不变？请解释。”答题时要像例题 2 一样写清楚：哪个测量值受了影响、往哪个方向，再通过公式推到结果。AP 一般用取绝对值的 percent error，方向要另外说明。