半衰期

一块木头有多老？

选学 · AP 不考： 本节是选学内容，AP 化学考试不考放射性衰变的计算。人教版把半衰期放在高中物理课里讲。

考古学家怎么知道一块木炭是几千年前的？医院给病人注射放射性药物，为什么过几天就几乎没有放射性了？答案都是同一个概念：半衰期。

放射性原子核有半数发生衰变所需的时间，叫做这种核素的半衰期half-life，用 T（或 t₁/₂）表示。碳-14 的半衰期是 5700 年：1 g 碳-14，过 5700 年剩 0.5 g，再过 5700 年剩 0.25 g，以此类推。

经过时间 t，剩下的原子核数 N 和原来的 N₀ 的关系是

N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}

质量 m 也按同样的规律减少。

半衰期由原子核本身决定。升高温度、增大压强、把它变成化合物，都不能改变半衰期，因为这些只影响核外电子（2.14.1 节）。

半衰期是一个统计规律，只对大量原子核才有意义。对单个原子核，没法预测它什么时候衰变：它可能下一秒就衰变，也可能过很久都不变。

下表是几种核素的半衰期：

核素	半衰期	衰变方式
锝-99m	6.0072 小时	γ
碘-131	8.0252 天	β⁻
氡-222	3.8222 天	α
钴-60	5.271 年	β⁻
碳-14	5700 年	β⁻
铀-238	4.468 × 10⁹ 年	α

🔧 数学工具卡 · 指数与半衰期会了可以跳过

每过一个半衰期，就乘一次 1/2。 经过 n 个半衰期，剩下 (1/2)ⁿ：

半衰期个数 n	剩下的比例
1	1/2
2	1/4
3	1/8
4	1/16
5	1/32
10	1/1024

指数不一定是整数。 n = t/T 可以是 1.5：(1/2)^1.5 = 1/(2√2) ≈ 0.354。计算器上按 0.5 ^ 1.5。

反过来求时间要用对数（2.12.3 节的工具卡）。对 N/N₀ = (1/2)^(t/T) 两边取对数，整理得

\begin{aligned} \frac{t}{T} &= \frac{\lg (N_0/N)}{\lg 2} \\ t &= T \times \frac{\lg (N_0/N)}{\lg 2} \end{aligned}

例如剩下 1/8 时，lg 8 / lg 2 = 3，正好是 3 个半衰期。

某放射性样品剩下原来的 10%，大约经过了几个半衰期？（lg 2 ≈ 0.301）

下面有 400 个同种原子核。拖动时间或点“播放”，看剩下的原子核数和理论曲线的比较；点“换一批原子核”，看看每批的结果是不是都一样。最下面可以输入剩下的百分比，反算经过的时间：

动手试试：400 个原子核怎样衰变

经过的时间

如果剩下%

碳-14 测年

高空中，宇宙射线产生的中子不断把氮-14 变成碳-14：

\ce{^{14}_{7}N + ^{1}_{0}n -> ^{14}_{6}C + ^{1}_{1}H}

碳-14 和普通的碳一样变成 CO₂，被植物吸收，再进入动物体内。生物活着的时候，体内碳-14 占碳的比例和大气中基本相同；生物死后不再吸收碳，碳-14 按半衰期 5700 年逐渐减少。测出样品中碳-14 剩下的比例，就能算出生物死了多久。

碳-14 测年适用于几百年到几万年的含碳样品。太老的样品里碳-14 剩得太少，测不准；测岩石的年龄要用半衰期更长的核素，如铀-238。

和美国教材的不同

中国的高中课程在物理课里学半衰期；美国化学课本常把半衰期写成 t₁/₂。
美国教材也常写成 N = N₀e^(−kt) 的形式，其中 k = ln 2 / t₁/₂。这和 (1/2)^(t/T) 是同一个公式，AP 第 5 单元的一级反应会用到。

例题 1：碘-131 还剩多少

医院给一位病人使用了 80.0 mg 碘-131（半衰期 8.0252 天）。约 24.1 天后，体内还剩多少碘-131？（不考虑排出体外的部分。）

分步解析

公式。 每经过一个半衰期，剩下的量减半：m = m₀ × (1/2)ⁿ，n 是经过的半衰期个数，n = t ÷ T。
经过了几个半衰期。
$n = \frac{24.1}{8.0252} \approx 3.00$
剩下的比例。
$\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3} = \tfrac{1}{8}$
剩下的质量。
$\begin{aligned} m &= 80.0 \times \tfrac{1}{8} \\ &= \boxed{10.0\ \text{mg}} \end{aligned}$
检查。 一个一个半衰期地算：80.0 → 40.0 → 20.0 → 10.0 mg，正好 3 次减半。
常见错误。 以为每个半衰期减少的量相同（每次减 40.0 mg），算出 2 个半衰期就没了。每次减少的是剩下的一半，越减越少。

例题 2：木炭的年代

一块古代木炭中，碳-14 占碳的比例是现在活树中的 70.0%。这块木炭大约有多少年？（碳-14 的半衰期取 5700 年。）

t = T \times \frac{\lg (N_0/N)}{\lg 2}

分步解析

公式从哪里来。 由 N = N₀ × (1/2)^t/T 得 N₀/N = 2^t/T。两边取常用对数：lg(N₀/N) = (t/T) × lg 2，整理就得到上面的公式。
先估计。 70.0% 在 100% 和 50% 之间，所以年龄不到一个半衰期，少于 5700 年。
代入。
$\begin{aligned} N_0/N &= 1/0.700 \\ &= 1.429 \\ \lg 1.429 &= 0.1549 \\ \lg 2 &= 0.3010 \end{aligned}$
计算。
$\begin{aligned} t &= 5700 \times \frac{0.1549}{0.3010} \\ &\approx \boxed{2.93 \times 10^{3}\ \text{年}} \end{aligned}$
检查。 2930 ÷ 5700 ≈ 0.514 个半衰期，(1/2)^0.514 ≈ 0.700，和题目一致；也确实少于 5700 年。
常见错误。 按直线比例算：减少了 30%，一个半衰期减少 50%，所以 t = 0.30 ÷ 0.50 × 5700 = 3420 年。衰变是“每段时间减少同样的比例”，不是减少同样的量，不能按直线算。

练一练：剩下（或已衰变）的比例是多少？

经过 1 个半衰期，剩下
经过 2 个半衰期，剩下
经过 3 个半衰期，剩下
经过 4 个半衰期，剩下
经过 2 个半衰期，已衰变
经过 3 个半衰期，已衰变
碘-131（半衰期约 8 天）经过 16 天，剩下
钴-60（半衰期约 5.27 年）经过约 15.8 年，剩下
氡-222（半衰期约 3.82 天）经过 3.82 天，已衰变

常见误区

误区 1：“经过两个半衰期，放射性物质就全部衰变完了。” 第一个半衰期剩一半，第二个半衰期再剩那一半的一半，即 1/4。剩下的量越来越少，但不会恰好变成零。

误区 2：“加热或者把它变成化合物，可以让它衰变得快一些。” 半衰期由原子核决定，和温度、压强、化学状态都无关。

误区 3：“10 个原子核经过一个半衰期，一定剩下 5 个。” 半衰期是统计规律，只对大量原子核成立。原子核很少时，剩下的个数是随机的，可能是 3 个，也可能是 7 个。

即时小测

某放射性核素的半衰期是 2 天。32 g 这种核素经过 6 天，还剩多少？

某骨骼化石中碳-14 的比例是活体中的 1/8。它大约有多少年？（碳-14 的半衰期取 5700 年）

小结

半衰期是放射性原子核有半数发生衰变所需的时间，由原子核本身决定，与温度、压强、化学状态无关，是大量原子核的统计规律。
N = N₀(1/2)^(t/T)；经过 n 个半衰期剩下 (1/2)ⁿ。反过来，t = T × lg(N₀/N) / lg 2。
碳-14 测年：生物死后碳-14 按 5700 年的半衰期减少，由剩下的比例算出年代。

通往 AP（以后再看）

AP 不考放射性衰变，但同样的数学在 AP 第 5 单元的一级反应里会出现：一级反应的半衰期 t₁/₂ = 0.693/k 不随浓度变化，ln[A] 对时间作图是直线。学会了这一节，那部分会容易很多。

数据来源：半衰期取自国际原子能机构（IAEA）的核素图 LiveChart；钴-60 的半衰期在数据库中是 1925.28 天，表中换算成年。

半衰期Half-Life

学习目标

前置知识

一块木头有多老？

半衰期

碳-14 测年

和美国教材的不同

例题 1：碘-131 还剩多少

例题 2：木炭的年代

常见误区

即时小测

小结

反馈 / 报错