pH 与 pOHpH and pOH

大思想 · 结构与性质（SAP）AP 科学实践 5 · 数学运算AP 衔接 · Unit 8约 40 分钟

学习目标

  • 用 pH = −lg c(H⁺) 和 pOH = −lg c(OH⁻) 进行计算，知道 25 °C 时 pH + pOH = 14.00
  • 计算强酸、强碱溶液的 pH，由 pH 反求 c(H⁺) 和 c(OH⁻)
  • 按“pH 的小数位数 = c(H⁺) 的有效数字位数”写出结果

前置知识

  • 中和反应与 pH（定性）（1.8.5）
  • 有效数字的运算规则（2.1.1）
  • 强酸强碱与弱酸弱碱（2.12.2）

用一个简单的数表示酸碱度

1.8.5 节用 pH 试纸测过溶液的酸碱度：pH 在 0～14 之间，小于 7 显酸性，大于 7 显碱性。可是 pH 到底是什么？2.12.2 节算出 0.10 mol/L 醋酸中 c(H⁺) ≈ 1.3 × 10⁻³ mol/L，而溶液中 c(H⁺) 可以从 1 mol/L 左右一直小到 10⁻¹⁴ mol/L，跨越十几个数量级，写起来、比起来都很不方便。1909 年，丹麦化学家索伦森想出了一个办法：只取浓度的“指数”。

pH 的定义

溶液的 pHpH 是 c(H⁺) 的负常用对数：

pH=−lg⁡c(HX+)\text{pH} = -\lg c(\ce{H+})

c(H⁺) 的单位用 mol/L。例如 c(H⁺) = 1 × 10⁻³ mol/L 时，pH = 3。

pH 每减小 1，c(H⁺) 就变为原来的 10 倍。pH = 2 的溶液，c(H⁺) 是 pH = 5 的溶液的 10³ = 1000 倍。

同样可以定义 pOHpOH：

pOH=−lg⁡c(OHX−)\text{pOH} = -\lg c(\ce{OH-})

先知道：水自己会电离。 纯水中有极少数水分子电离成 H⁺ 和 OH⁻（H₂O ⇌ H⁺ + OH⁻），所以任何水溶液里都同时有 H⁺ 和 OH⁻，只是多少不同：酸性溶液里 H⁺ 多，碱性溶液里 OH⁻ 多。25 °C 时，不管水里溶解了什么，两者浓度的乘积总是 1.0 × 10⁻¹⁴；纯水中两者相等，都是 1.0 × 10⁻⁷ mol/L。为什么会这样，2.12.4 节细讲。

写成式子，25 °C 时任何水溶液中都有：

c(HX+)⋅c(OHX−)=1.0×10−14c(\ce{H+}) \cdot c(\ce{OH-}) = 1.0 \times 10^{-14}

两边取负对数，就得到 25 °C 时：

pH+pOH=14.00\text{pH} + \text{pOH} = 14.00

所以 25 °C 时，pH < 7 的溶液呈酸性，pH = 7 呈中性，pH > 7 呈碱性。

pH 的有效数字

2.1.1 节说过，对数有自己的有效数字规则：pH 小数点后的位数，等于 c(H⁺) 的有效数字位数。

  • c(H⁺) = 2.5 × 10⁻³ mol/L（2 位有效数字）→ pH = 2.60（2 位小数），不写 2.6 或 2.602。
  • 反过来，pH = 3.45（2 位小数）→ c(H⁺) = 10−3.45 = 3.5 × 10⁻⁴ mol/L（2 位有效数字）。
  • 写 pH = 7.00，表示 c(H⁺) = 1.0 × 10⁻⁷ mol/L；只写 pH = 7，严格说连一位有效数字都没有给出。

pOH 也一样。用 pH + pOH = 14.00 换算时，小数位数不变。下面的工具卡解释了这条规则从哪里来。

🔧 数学工具卡 · 对数会了可以跳过

对数就是“10 的几次方”。 如果 10ˣ = N，就把 x 叫做 N 的常用对数，写作 x = lg N（美国教材和计算器上写 log）。所以 lg 100 = 2，lg 1 = 0，lg 0.001 = −3。

两条规则就够用：

lg⁡(a×b)=lg⁡a+lg⁡blg⁡10n=n\begin{aligned} \lg(a \times b) &= \lg a + \lg b \\ \lg 10^{n} &= n \end{aligned}

所以 lg(2.5 × 10⁻³) = lg 2.5 + lg 10⁻³ = 0.398 − 3 = −2.602，pH = 2.602。记住三个值很方便：lg 2 ≈ 0.30，lg 3 ≈ 0.48，lg 5 ≈ 0.70。

反过来求浓度。 已知 pH，c(H⁺) = 10−pH。计算器上一般按 SHIFT（或 2nd）再按 log，得到 10ˣ 键。

有效数字规则从哪里来？ 在 lg(2.5 × 10⁻³) = −3 + 0.398 里，整数部分 −3 来自 10 的指数，只决定小数点的位置；小数部分 0.398 来自系数 2.5。系数只有 2 位有效数字，小数部分也就只可靠到 2 位。所以 pH = 2.60。

c(H⁺) = 2 × 10⁻⁴ mol/L 时，pH 约为多少？（lg 2 ≈ 0.30）

已知 c(H⁺)、c(OH⁻)、pH、pOH 中的任意一个，就能求出另外三个。在下面输入一个值，看计算步骤和有效数字；再点“c(H⁺) × 10”，看 pH 是不是正好减小 1：

动手试试：c(H⁺)、c(OH⁻)、pH、pOH 互相换算（25 °C）
已知
× 10^mol/L

    强酸、强碱溶液的 pH

    强酸、强碱在水中全部电离，可以直接由浓度得到 c(H⁺) 或 c(OH⁻)：

    • 一元强酸：c(H⁺) = c(酸)。0.010 mol/L 盐酸中 c(H⁺) = 0.010 mol/L，pH = 2.00。
    • 强碱：c(OH⁻) = c(碱) × 每个化学式电离出的 OH⁻ 数。0.0010 mol/L Ba(OH)₂ 中，c(OH⁻) = 2.0 × 10⁻³ mol/L。

    和美国教材的不同

    • 人教版写 lg，美国教材写 log，都是以 10 为底的对数。美国教材写 pH = −log[H⁺]，浓度用 M。
    • 人教版课本很少用 pOH，一般先用 c(H⁺)·c(OH⁻) = 1.0 × 10⁻¹⁴ 求出 c(H⁺)，再算 pH。美国教材常用 pH + pOH = 14.00。
    • “pH 的小数位数等于浓度的有效数字位数”是美国教材和 AP 常用的写法。人教版的练习题常把 pH 算成整数（比如 0.01 mol/L 盐酸的 pH = 2），本站的计算一律按这条规则写。

    例题 1：强碱溶液的 pH

    25 °C 时，求 0.0010 mol/L Ba(OH)₂ 溶液的 c(OH⁻)、pOH、pH 和 c(H⁺)。

    分步解析

    1. c(OH⁻)。 Ba(OH)₂ 是强碱，全部电离，1 个 Ba(OH)₂ 给出 2 个 OH⁻：

      Ba(OH)X2→BaX2++2 OHX−\ce{Ba(OH)2 -> Ba^2+ + 2OH-}

      c(OH⁻) = 2 × 0.0010 = 2.0 × 10⁻³ mol/L（2 位有效数字）。

    2. pOH。 lg 2.0 = 0.30：

      pOH=−lg⁡(2.0×10−3)=3−0.30=2.70\begin{aligned} \text{pOH} &= -\lg(2.0 \times 10^{-3}) \\ &= 3 - 0.30 \\ &= \boxed{2.70} \end{aligned}

      浓度有 2 位有效数字，pOH 保留 2 位小数。

    3. pH。 25 °C 时 pH + pOH = 14.00：

      pH=14.00−2.70=11.30\text{pH} = 14.00 - 2.70 = \boxed{11.30}

    4. c(H⁺)。

      c(HX+)=10−11.30=5.0×10−12 mol/L\begin{aligned} c(\ce{H+}) &= 10^{-11.30} \\ &= \boxed{5.0 \times 10^{-12}\ \text{mol/L}} \end{aligned}

    5. 检验。 2.0 × 10⁻³ × 5.0 × 10⁻¹² = 1.0 × 10⁻¹⁴，等于 Kw。

    6. 常见错误。 忘了乘 2，用 c(OH⁻) = 0.0010 mol/L，得到 pH = 11.00。

    例题 2：由 pH 求浓度

    胃液的 pH 约为 1.20。求胃液中的 c(H⁺)。它是 pH = 3.20 的溶液的多少倍？

    分步解析

    1. c(H⁺)。 由 pH = −lg c(H⁺) 反过来求：

      c(HX+)=10−pH=10−1.20=6.3×10−2 mol/L\begin{aligned} c(\ce{H+}) &= 10^{-\text{pH}} \\ &= 10^{-1.20} \\ &= \boxed{6.3 \times 10^{-2}\ \text{mol/L}} \end{aligned}

      pH 有 2 位小数，浓度保留 2 位有效数字。

    2. 比较。 两种溶液的 pH 相差 3.20 − 1.20 = 2.00，pH 每差 1，c(H⁺) 差 10 倍，所以相差 10² = 100 倍。

    3. 检验。 pH = 3.20 时 c(H⁺) = 6.3 × 10⁻⁴ mol/L：

      6.3×10−26.3×10−4=100\frac{6.3 \times 10^{-2}}{6.3 \times 10^{-4}} = 100

    4. 常见错误。 以为 pH 从 1.20 到 3.20 只是“大了不到 3 倍”。pH 是对数，差 2 就是浓度差 100 倍。

    练一练：25 °C 时溶液的 pH 是多少？
    1. c(H⁺) = 1.0 × 10⁻² mol/L
    2. c(H⁺) = 0.10 mol/L
    3. c(H⁺) = 2.5 × 10⁻³ mol/L
    4. c(H⁺) = 5.0 × 10⁻⁴ mol/L
    5. c(OH⁻) = 1.0 × 10⁻³ mol/L
    6. 0.010 mol/L NaOH 溶液
    7. pOH = 13.00 的溶液
    8. 0.0050 mol/L Ba(OH)₂ 溶液

    常见误区

    误区 1：“pH = 3 的溶液比 pH = 6 的溶液酸性强 2 倍。” pH 是对数，相差 3 意味着 c(H⁺) 相差 10³ = 1000 倍。

    误区 2：“计算器上显示 pH = 2.6020599…，位数越多越准确。” c(H⁺) = 2.5 × 10⁻³ mol/L 只有 2 位有效数字，pH 只能写 2.60。多写的位数是计算器算出来的，并不可靠。

    误区 3：“碱溶液里没有 H⁺，所以谈不上 pH。” 任何水溶液里都同时有 H⁺ 和 OH⁻。碱溶液里 c(H⁺) 很小，但不是零，pH 照样能算，比如 0.010 mol/L NaOH 溶液的 pH = 12.00。

    即时小测

    25 °C 时，某溶液 c(H⁺) = 3.0 × 10⁻⁵ mol/L，它的 pH 应写作？

    25 °C 时，某溶液 pH = 9.40，它的 c(OH⁻) 是？

    小结

    • pH = −lg c(H⁺)，pOH = −lg c(OH⁻)。pH 每差 1，c(H⁺) 差 10 倍。
    • 25 °C 时 c(H⁺)·c(OH⁻) = 1.0 × 10⁻¹⁴，pH + pOH = 14.00；c(H⁺) = 10−pH。
    • pH 的小数位数等于 c(H⁺) 的有效数字位数：c(H⁺) = 2.5 × 10⁻³ mol/L → pH = 2.60。
    通往 AP（以后再看）

    AP 8.1 要求在 [H₃O⁺]、[OH⁻]、pH、pOH 之间互相换算，8.2 要求计算强酸、强碱溶液的 pH。“p”表示取负对数，后面还会遇到 pKa = −log Ka（2.12.5 节）和 pKw。pH 的小数位数规则在美国教材里很常见，按它写不会错。

    练一练这一章：2.12 · 酸与碱 · 10 道题

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