玻尔模型与能级The Bohr Model and Energy Levels

大思想 · 结构与性质（SAP）AP 科学实践 1 · 模型与表征AP 衔接 · Unit 1约 35 分钟

学习目标

  • 说出玻尔模型的基本假设，区分基态和激发态
  • 用 Eₙ = −2.18 × 10⁻¹⁸ J/n² 计算氢原子能级之间跃迁时吸收或放出的光子能量和波长
  • 用能级跃迁解释氢原子的线状光谱，说出玻尔模型的局限

前置知识

  • 电磁波与光谱（2.2.2）

氢原子的四条谱线

给装有氢气的放电管通电，管子发出淡紫红色的光。用棱镜把它分开，可见光部分只有四条亮线：656 nm 的红线、486 nm 的蓝绿线、434 nm 的蓝紫线和 410 nm 的紫线。为什么偏偏是这四个波长？1913 年，玻尔给出了答案。

玻尔的假设

  1. 氢原子中的电子只能在一些特定的轨道上运动，每个轨道有确定的能量，叫做能级energy level，用 n = 1、2、3……编号。电子在这些轨道上运动时不辐射能量。
  2. 能量最低的状态叫做基态ground state（n = 1），能量较高的状态叫做激发态excited state。
  3. 电子从一个能级跃迁到另一个能级时，吸收或放出一个光子，光子的能量等于两个能级的能量差：
hν=∣ΔE∣=∣E终−E始∣h\nu = |\Delta E| = |E_{\text{终}} - E_{\text{始}}|

从低能级到高能级要吸收光子，从高能级回到低能级会放出光子。

氢原子的能级

玻尔算出氢原子第 n 能级的能量为：

En=−2.18×10−18 Jn2E_n = -\frac{2.18 \times 10^{-18}\ \text{J}}{n^2}

能量为负，是因为规定电子离核无限远（n = ∞，原子被电离）时能量为 0；被原子核吸引住的电子能量比这更低。n 越大，能量越高，相邻能级也靠得越近。

电子从始态（n始）跃迁到终态（n终），能量变化为：

ΔE=E终−E始=2.18×10−18 J×(1n始2−1n终2)\Delta E = E_{\text{终}} - E_{\text{始}} = 2.18 \times 10^{-18}\ \text{J} \times \left(\frac{1}{n_{\text{始}}^2} - \frac{1}{n_{\text{终}}^2}\right)

ΔE 为正表示吸收能量，为负表示放出能量。

解释氢原子光谱

氢原子被激发后，电子从较高能级跳回较低能级，放出一定波长的光。跳回 n = 2 的那些跃迁（巴耳末系）放出的正好是可见光，就是那四条谱线；跳回 n = 1 的（莱曼系）能量更大，在紫外区；跳回 n = 3 的（帕邢系）在红外区。

因为能级是分立的，能量差只能取一些特定的值，所以光谱是一条条分立的线，而不是连续的彩带。反过来，让白光穿过氢气，这些波长的光会被吸收，在连续光谱上留下暗线，叫做吸收光谱。

让电子在能级之间跳一跳，凑齐巴耳末系的四条谱线：

动手试试：让氢原子的电子在能级之间跳，看它吸收或放出什么样的光

电子跳到：

氢原子发射光谱的可见光部分（电子放出可见光时，谱线会出现在这里）：

玻尔模型的局限

玻尔模型能很好地解释氢原子以及只有一个电子的离子（如 He⁺）的光谱，可是对含有多个电子的原子，计算结果和实验不符。而且电子并不真的沿着固定的圆形轨道运动。玻尔模型最重要的遗产是能量是量子化的这个思想，它被保留在了现代的量子力学模型中（2.2.4 节）。

例题 1：计算 Hβ 谱线

氢原子的电子从 n = 4 跃迁到 n = 2，放出的光子能量是多少？波长是多少？

分步解析

  1. 写出能级公式。 玻尔模型中 Eₙ = −2.18 × 10⁻¹⁸ J ÷ n²，能量变化 ΔE = E(末) − E(初)：

    ΔE=2.18×10−18(142−122)\Delta E = 2.18 \times 10^{-18} \left(\frac{1}{4^2} - \frac{1}{2^2}\right)

  2. 计算。 括号里是 0.0625 − 0.25 = −0.1875：

    ΔE=−4.09×10−19 J\Delta E = -4.09 \times 10^{-19}\ \text{J}

    负号表示原子放出能量，光子的能量是 4.09 × 10⁻¹⁹ J。

  3. 求波长。 由 E = hc/λ 得 λ = hc/E：

    λ=(6.626×10−34)(3.00×108)4.09×10−19=4.86×10−7 m=486 nm\begin{aligned} \lambda &= \frac{(6.626 \times 10^{-34})(3.00 \times 10^{8})}{4.09 \times 10^{-19}} \\ &= 4.86 \times 10^{-7}\ \text{m} \\ &= \boxed{486\ \text{nm}} \end{aligned}

  4. 对照实验。 486 nm 正是氢原子光谱中那条蓝绿色的谱线。

  5. 常见错误。 把 ΔE 的负号带进波长公式，得到负的波长。求波长时用光子能量的大小。

例题 2：电离氢原子需要多少能量？

把基态氢原子的电子完全拿走（n = 1 → n = ∞），每个原子需要多少能量？1 mol 呢？（1 mol 就是 6.022 × 10²³ 个，见 2.2.2 节。）

分步解析

  1. 每个原子。 n = ∞ 时电子离开原子，能量为 0；基态 E₁ = −2.18 × 10⁻¹⁸ J：

    ΔE=0−E1=2.18×10−18 J\begin{aligned} \Delta E &= 0 - E_1 \\ &= \boxed{2.18 \times 10^{-18}\ \text{J}} \end{aligned}

  2. 1 mol 原子。 乘以阿伏加德罗常数，再换算成 kJ：

    Em=(2.18×10−18)(6.022×1023)=1.31×106 J/mol=1.31×103 kJ/mol\begin{aligned} E_\text{m} &= (2.18 \times 10^{-18})(6.022 \times 10^{23}) \\ &= 1.31 \times 10^{6}\ \text{J/mol} \\ &= \boxed{1.31 \times 10^{3}\ \text{kJ/mol}} \end{aligned}

  3. 对照实验。 实测氢的第一电离能是 1312 kJ/mol，和计算值吻合。2.3.4 节会专门学电离能。

练一练：下列过程中，氢原子吸收光子还是放出光子？
  1. 电子从 n = 1 跃迁到 n = 3
  2. 电子从 n = 4 跃迁到 n = 2
  3. 电子从 n = 2 跃迁到 n = 5
  4. 电子从 n = 3 跃迁到 n = 1
  5. 原子从基态变成激发态
  6. 原子从激发态回到基态
  7. 氢气放电管发出红色的 Hα 光
  8. 白光穿过氢气后，光谱上出现暗线
  9. 被电离的电子重新回到 n = 2 能级

常见误区

误区 1：“电子跃迁时放出的光子，能量等于它原来所在能级的能量。” 光子的能量等于两个能级的能量差。

误区 2：“能级之间是等距的。” Eₙ 和 1/n² 成正比，n 越大，相邻能级靠得越近，所以巴耳末系的谱线越往紫端越密集。

误区 3：“玻尔模型能解释所有原子的光谱。” 它只适用于氢原子和单电子离子。多电子原子要用量子力学模型。

即时小测

下列氢原子的跃迁中，放出的光子能量最大的是？

氢原子的电子从 n = 3 跃迁到 n = 2，放出的光属于？

小结

  • 玻尔模型：电子只能处于特定能级；基态能量最低；跃迁时吸收或放出光子，hν = |ΔE|。
  • 氢原子能级 Eₙ = −2.18 × 10⁻¹⁸ J/n²；n = ∞ 时能量为 0，就是电离。跳回 n = 2 的是可见光（巴耳末系），回 n = 1 的是紫外线，回 n = 3 的是红外线。
  • 能级分立，所以光谱是线状的；玻尔模型只适用于单电子体系，它留下的“能量量子化”思想延续到了量子力学模型中。

预告： 下一节（2.2.4）换用人教版量子力学模型的说法：这里的“能级 n”在那里叫能层，“能级”改指能层里的 s、p、d、f。

通往 AP（以后再看）

AP 不要求背诵玻尔的能级公式，但 U3.11 要求用能级图和 ΔE = hν 解释光的吸收和发射。对多电子原子，AP 用电离能和光电子能谱（PES，U1.6）来研究电子的能量。例题 2 里算出的 1.31 × 10³ kJ/mol（PES 图上常写作 1.31 MJ/mol），就是氢的 PES 图上那个峰的位置。

练一练这一章：2.2 · 原子结构 · 基础、中等、困难三档

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