综合气体定律与阿伏加德罗定律 · 高中化学

气泡越往上越大

潜水员在湖底呼出一个小气泡，它一边往上浮，一边越变越大：水越浅，压强越小，水面附近的水温也更高。压强和温度同时在变，上一节的三个定律只能让一个量不变，不够用了。把它们合在一起，就是综合气体定律。再加上气体的“量”，就得到阿伏加德罗定律和气体摩尔体积。

综合气体定律

一定量的气体，从状态 1 变到状态 2，压强、体积、温度都可以变：

\frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2}

这叫综合气体定律combined gas law，人教版物理课本里叫理想气体状态方程（pV/T = 常量）。某个量不变时，它在两边约掉，就回到上一节的三个定律。计算时：

温度换成 K；
压强、体积两边用同样的单位（单位相同就可以直接约掉，不必换成 Pa 或 L）；
列出已知量和未知量，把公式变形后再代入。

阿伏加德罗定律

1811 年，阿伏加德罗提出：同温同压下，相同体积的任何气体含有相同数目的分子。这叫阿伏加德罗定律Avogadro’s law。换个说法：温度和压强不变时，气体的体积与物质的量成正比，V₁/n₁ = V₂/n₂。

为什么和气体的种类无关？气体分子之间的距离约为分子直径的 10 倍，气体的体积几乎全是分子之间的空隙，分子本身的大小可以忽略。分子数相同、温度和压强相同，占的空间就相同。

气体摩尔体积

单位物质的量的气体所占的体积叫气体摩尔体积molar volume，符号 V_m，常用单位 L/mol：

条件	名称	V_m
0 °C、101 kPa	人教版的“标准状况”	22.4 L/mol
273.15 K、1 atm	美国教材和 AP 公式表的 STP	22.4 L/mol
0 °C、100 kPa	IUPAC 1982 年以后的 STP	22.7 L/mol
25 °C、101 kPa	常温常压	24.5 L/mol

101 kPa 就是 1 atm（101.325 kPa），所以人教版的标准状况和美国的 STP 是一回事。用 22.4 L/mol 时一定要确认是 0 °C 和 1 atm。另外，2.10 章热化学的数据大多是 25 °C 时的，那是另一套约定，不要和标准状况混淆。

由阿伏加德罗定律还能推出：同温同压下，气体的密度之比等于摩尔质量之比，ρ₁/ρ₂ = M₁/M₂。空气中按体积约有 78% N₂、21% O₂、1% Ar，同温同压下体积分数就是物质的量分数，所以空气的平均摩尔质量是

\begin{aligned} \bar{M} &= 0.78 \times 28 + 0.21 \times 32 \\ &\quad + 0.01 \times 40 \\ &\approx 29\ \text{g/mol} \end{aligned}

因此 CO₂（44 g/mol）比空气重，用向上排空气法收集；H₂（2 g/mol）比空气轻，用向下排空气法收集。

本节用高中课本常给的相对原子质量（H 1、C 12、N 14、O 16、Cl 35.5）。

先用计算器解几个综合气体定律的问题：选一个未知量，填好两个状态：

动手试试：综合气体定律计算器

求：

状态 1P₁V₁T₁

状态 2P₂V₂T₂

再看看 1 mol 气体到底有多大。换一种气体，体积变不变？

动手试试：1 mol 气体有多大？

气体

条件

物质的量

例题 1：上浮的气泡

湖底的压强是 303 kPa，水温 8 °C。潜水员在那里呼出一个 2.0 mL 的气泡。气泡升到水面时（101 kPa、25 °C），体积是多少？

分步解析

选公式。 气泡里气体的量不变，P、V、T 都在变，用联合气体定律 P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。
温度换成 K。
$\begin{aligned} T_1 &= 8 + 273 = 281\ \text{K} \\ T_2 &= 25 + 273 = 298\ \text{K} \end{aligned}$
变形。 两边同乘 T₂/P₂：
$V_2 = \frac{P_1 V_1 T_2}{P_2 T_1}$
代入。 压强单位都是 kPa，可以约掉；V 的单位是 mL，答案也是 mL：
$\begin{aligned} V_2 &= \frac{303 \times 2.0 \times 298}{101 \times 281} \\ &= 6.36 \approx \boxed{6.4\ \text{mL}} \end{aligned}$
检查。 分两步看：压强降到 1/3，体积变为 3 倍，即 6.0 mL；温度从 281 K 升到 298 K，体积再增大约 6%，即 6.4 mL。2.0 mL 只有 2 位有效数字，答案保留 2 位。

例题 2：标准状况下的二氧化碳

标准状况下，11.2 L CO₂ 的物质的量和质量各是多少？同温同压下，多少升 H₂ 含有相同数目的分子？CO₂ 比空气重还是轻？

分步解析

标准状况。 0 °C、101 kPa 下，1 mol 任何气体的体积都约为 22.4 L，即 V_m = 22.4 L/mol。
物质的量。
$\begin{aligned} n &= \frac{V}{V_\text{m}} \\ &= \frac{11.2\ \text{L}}{22.4\ \text{L/mol}} \\ &= \boxed{0.500\ \text{mol}} \end{aligned}$
质量。 M(CO₂) = 12 + 2 × 16 = 44 g/mol：
$\begin{aligned} m &= nM \\ &= 0.500 \times 44 \\ &= \boxed{22.0\ \text{g}} \end{aligned}$
阿伏加德罗定律。 同温同压下，分子数相同的气体体积也相同，所以是 11.2 L H₂。它的质量只有 0.500 mol × 2 g/mol = 1.00 g。
比较轻重。 标准状况下气体的密度 ρ = M ÷ V_m；空气的平均摩尔质量约为 29 g/mol（由 78% N₂、21% O₂、1% Ar 算出）：
$\begin{aligned} \rho(\ce{CO2}) &= 44 / 22.4 \\ &= 1.96\ \text{g/L} \\ \rho(\text{空气}) &= 29 / 22.4 \\ &= 1.29\ \text{g/L} \end{aligned}$
CO₂ 比空气重，会沉在下面。更快的判断：同温同压下密度之比等于摩尔质量之比，44 > 29。
常见错误。 22.4 L/mol 只适用于标准状况下的气体。对水、酒精这样的液体，或 25 °C 时的气体，都不能用。

练一练：比较前后两个量的大小。

同温同压下，1 L H₂ 和 1 L O₂ 的分子数
同温同压下，1 L H₂ 和 1 L O₂ 的质量
同温同压下，1 g H₂ 和 1 g O₂ 的体积
同温同压下，1 mol N₂ 和 1 mol CO₂ 的体积
同温同压下，CH₄ 和 O₂ 的密度
标准状况下的 22.4 L N₂ 和 25 °C、101 kPa 下的 22.4 L N₂ 所含的分子数
1 mol 气体在标准状况下和在 25 °C、101 kPa 下的体积
同温同压下，1 L 空气和 1 L CO₂ 的质量

常见误区

误区 1：“1 mol 任何物质的体积都是 22.4 L。” 22.4 L/mol 只适用于气体，而且只在 0 °C、101 kPa 时成立。1 mol 水在标准状况下是液体（或冰），体积只有约 18 mL。

误区 2：“常温下 1 mol 气体的体积也是 22.4 L。” 温度升高，气体膨胀。25 °C、101 kPa 时，1 mol 气体的体积约为 24.5 L。题目没有说“标准状况”时，不能直接用 22.4 L/mol。

误区 3：“同温同压下，相同体积的气体质量也相同。” 阿伏加德罗定律说的是分子数相同。不同气体的分子质量不同，相同体积的质量也不同，质量之比等于摩尔质量之比。

即时小测

标准状况下，5.6 L O₂ 的物质的量是？

同温同压下，质量相等的下列气体中，体积最大的是？

小结

综合气体定律：P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。温度用 K，两边的压强、体积单位要一致。
阿伏加德罗定律：同温同压下，相同体积的任何气体含有相同数目的分子，V 与 n 成正比；推论：同温同压下密度之比等于摩尔质量之比。
气体摩尔体积：0 °C、101 kPa（标准状况，即美国的 STP）时为 22.4 L/mol；25 °C 时约为 24.5 L/mol。

通往 AP（以后再看）

AP 公式表写着 STP = 273.15 K、1.0 atm，理想气体在 STP 下为 22.4 L/mol。不过 AP 题目更常直接用 PV = nRT（下一节），因为它对任何温度和压强都适用。AP 还常用阿伏加德罗定律解释粒子图：同温同压下体积相同的两个容器，画的分子数必须相同。

综合气体定律与阿伏加德罗定律The Combined Gas Law and Avogadro's Law

学习目标

前置知识

气泡越往上越大