理想气体方程 PV = nRT · 高中化学

一间教室里的空气有多重？

教室里的空气看不见也摸不着，好像没有重量。可是只要量出教室的长、宽、高，再知道温度和气压，就能算出里面有多少摩尔空气、多少千克空气。用到的就是把 P、V、n、T 四个量统一起来的一个方程。

理想气体状态方程

把玻意耳定律、V ∝ T、P ∝ T 和阿伏加德罗定律（V ∝ n）合在一起，就得到

PV = nRT

这叫理想气体状态方程ideal gas law，也叫克拉珀龙方程。R 叫摩尔气体常数gas constant，对所有气体都相同。它的数值取决于用什么单位：

P 的单位	V 的单位	R
kPa	L	8.314 L·kPa/(mol·K)
atm	L	0.08206 L·atm/(mol·K)
mmHg（torr）	L	62.36 L·mmHg/(mol·K)
Pa	m³	8.314 J/(mol·K)

最后一行和第一行是同一个数，因为 1 Pa·m³ = 1 J，1 kPa·L 也是 1 J。R 的精确值是 8.314 462 618 J/(mol·K)。T 永远用 K。

把 n = m/M 代入，还能求气体的摩尔质量或密度：

M = \frac{mRT}{PV} \qquad \rho = \frac{PM}{RT}

什么是“理想”气体？

理想气体假设：分子本身不占体积，分子之间没有相互作用力。常温常压下，大多数气体都很接近理想气体，PV = nRT 算得很准。压强很高时分子挤得很近，分子本身的体积不能忽略；温度很低时分子运动变慢，分子间的吸引力显出作用。这两种情况下，真实气体会明显偏离 PV = nRT。

人教版的化学课本没有学 PV = nRT，而是在物理（选择性必修第三册）里学理想气体状态方程 pV/T = C。化学题一般只给标准状况，用 V_m = 22.4 L/mol 计算。PV = nRT 更通用：任何温度和压强都能用，22.4 L/mol 只是它在 0 °C、101 kPa 时的一个特例。

本节用高中课本常给的相对原子质量（H 1、C 12、N 14、O 16、S 32、Cl 35.5），R 取 8.314 L·kPa/(mol·K)。

选一个未知量，填好其他三个量，看 R 怎样选、单位怎样约。最后一个按钮可以由气体的质量求摩尔质量，并猜出是哪种气体：

动手试试：理想气体状态方程 PV = nRT 求解器

求：

PVnmolT

例题 1：教室里的空气

教室长 10.0 m、宽 8.00 m、高 3.00 m，室温 25 °C，气压 101 kPa。教室里有多少摩尔空气？空气的平均摩尔质量按 29.0 g/mol 计，空气的质量是多少？

分步解析

选 R。 压强用 kPa、体积用 L 时，R = 8.314 L·kPa/(mol·K)，所以先把体积换成 L、温度换成 K。
体积换成 L。 1 m³ = 1000 L：
$\begin{aligned} V &= 10.0 \times 8.00 \times 3.00\ \text{m}^3 \\ &= 240\ \text{m}^3 \\ &= 2.40 \times 10^{5}\ \text{L} \end{aligned}$
温度换成 K。 T = 25 + 273 = 298 K。25 °C 只给到个位，加 273 就够了（2.8.2 节）。
求 n。 由 PV = nRT 得 n = PV/RT：
$\begin{aligned} n &= \frac{PV}{RT} \\ &= \frac{101 \times 2.40 \times 10^{5}}{8.314 \times 298} \\ &= \boxed{9.78 \times 10^{3}\ \text{mol}} \end{aligned}$
单位：kPa·L ÷ (L·kPa/(mol·K) × K) = mol。
求质量。
$\begin{aligned} m &= nM \\ &= 9.78 \times 10^{3} \times 29.0 \\ &= \boxed{2.84 \times 10^{5}\ \text{g}} \end{aligned}$
约 284 kg，比 4 个成年人还重。
常见错误。 体积直接代 240（单位是 m³），算出的 n 小了 1000 倍。代入前先看 R 里用的是什么单位。

例题 2：鉴别一种气体

一个 250 mL 的烧瓶装满某种气体，25 °C、101 kPa 时气体的质量是 0.655 g。求它的摩尔质量，这可能是什么气体？

分步解析

思路。 M = m ÷ n。质量已知，物质的量由 PV = nRT 求出。
统一单位。 V = 250 mL = 0.250 L，T = 25 + 273 = 298 K。
求 n。
$\begin{aligned} n &= \frac{PV}{RT} \\ &= \frac{101 \times 0.250}{8.314 \times 298} \\ &= 1.019 \times 10^{-2}\ \text{mol} \end{aligned}$
多留一位，最后再取舍。
求 M。
$\begin{aligned} M &= \frac{m}{n} \\ &= \frac{0.655}{1.019 \times 10^{-2}} \\ &= \boxed{64.3\ \text{g/mol}} \end{aligned}$
对照。 SO₂ 的摩尔质量是 32 + 2 × 16 = 64 g/mol，最接近。这种气体可能是 SO₂。
另一种写法。 把两步合成一个公式：M = mRT ÷ (PV)，代入的数字相同，结果也相同。

练一练：应该用哪个 R？

P 用 atm，V 用 L
P 用 kPa，V 用 L
P 用 mmHg，V 用 L
计算 1 mol 气体的平均动能 (3/2)RT，要得到 J/mol
P 用 torr，V 用 L
P 用 Pa，V 用 m³
P 用 atm，V 给的是 mL
题目给的是 101 kPa 和 22.4 L

常见误区

误区 1：“温度用 25 代入就行。” PV = nRT 中的 T 必须是热力学温度。用摄氏度代入，0 °C 时会得到 V = 0 这样荒唐的结果。

误区 2：“R 就是 8.314，什么单位都一样。” 压强用 atm 时要用 0.08206 L·atm/(mol·K)。把 atm 和 8.314 搭配，结果会差 100 倍左右。先看 P 和 V 的单位，再选 R。

误区 3：“PV = nRT 对任何气体、任何条件都精确成立。” 它是理想气体的方程。常温常压下误差很小；在很高的压强或很低的温度下，真实气体明显偏离，需要修正。

即时小测

2.00 mol 气体在 300 K、1.00 atm 时的体积约为？

某气体在标准状况下的密度是 1.25 g/L，它的摩尔质量约为？

小结

理想气体状态方程 PV = nRT。R = 8.314 L·kPa/(mol·K) = 0.08206 L·atm/(mol·K) = 62.36 L·mmHg/(mol·K) = 8.314 J/(mol·K)，按单位选用；T 用 K。
由 n = m/M 得 M = mRT/(PV)，ρ = PM/(RT)：测出气体的质量或密度，就能求摩尔质量。
理想气体不考虑分子的体积和分子间作用力。真实气体在高压、低温时偏离理想气体。

通往 AP（以后再看）

AP 公式表给出 PV = nRT 和 R = 8.314 J/(mol·K) = 0.08206 L·atm/(mol·K) = 62.36 L·torr/(mol·K)。AP 题目常让你由实验数据求摩尔质量，并分析误差，例如烧瓶里残留了水蒸气会让结果偏大还是偏小。第 3 单元还会用分子体积和分子间作用力解释真实气体为什么偏离 PV = nRT。

数据来源：R 的精确值取自 CODATA 2018 推荐值。

理想气体方程 PV = nRTThe Ideal Gas Law PV = nRT

学习目标

前置知识

一间教室里的空气有多重？

理想气体状态方程

什么是“理想”气体？

例题 1：教室里的空气

例题 2：鉴别一种气体

常见误区

即时小测

小结

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