热容与量热Heat Capacity and Calorimetry

大思想 · 能量（ENE）AP 科学实践 2 · 提问与方法AP 衔接 · Unit 6约 50 分钟

学习目标

  • 区分比热容 c、热容 C 和摩尔热容，用 q = mcΔT 计算热量
  • 由量热数据求反应或溶解的 ΔH（kJ/mol），注意符号和限量反应物
  • 说出测定 ΔH 所需的数据，分析实验失误使结果偏大还是偏小

前置知识

  • 比热容与 q = mcΔT（2.10.3）
  • 量热法（2.10.4）
  • 热传递与热平衡（U6.3）

三种“热容”

  • 比热容specific heat capacity, c：1 g 物质升高 1 °C 所需的热量，单位 J/(g·°C)。它是物质的性质，水是 4.18 J/(g·°C)。
  • 热容heat capacity, C：整个物体升高 1 °C 所需的热量，C = m·c，单位 J/°C。它与物体有多大有关。
  • 摩尔热容：1 mol 物质升高 1 °C 所需的热量，单位 J/(mol·°C)，等于比热容 × 摩尔质量。

三者都满足同一个关系：q = m·c·ΔT = C·ΔT。AP 公式表给出 q = mcΔT，但不给水的比热容，题目会给出。

泡沫杯量热计

在恒压下（敞口的泡沫杯）进行的反应，放出或吸收的热量就是 ΔH。泡沫杯隔热，可以认为反应的热量全部由溶液吸收或提供：

q反应=−q溶液=−m溶液⋅c⋅ΔTq_{\text{反应}} = -q_{\text{溶液}} = -m_{\text{溶液}} \cdot c \cdot \Delta T

再除以反应的物质的量，得到 ΔH（kJ/mol）：

ΔH=q反应n\Delta H = \frac{q_{\text{反应}}}{n}

要注意：

  • 符号： 溶液温度升高（ΔT > 0），q溶液 > 0，反应放热，ΔH < 0。
  • n 用限量反应物： 过量的反应物剩下来，不放热。
  • 规模： 两种溶液的体积都加倍，反应的量和溶液的质量都加倍，ΔT 不变，放出的热量加倍，ΔH（每摩尔）不变。

需要哪些数据？

用量热法测 ΔH，至少需要：溶液的质量（或体积和密度）、溶液的比热容、起始和最高（或最低）温度，以及限量反应物的物质的量。大气压、沸点、熔化焓之类的数据都不需要。

误差分析

误差分析常问“这个失误使算出的 ΔH 偏大还是偏小”。先想清楚失误怎样影响测得的 ΔT（或 m、n），再代入公式。下面换成一个吸热的溶解实验（NH₄NO₃ 溶于水，溶液变冷），选一种失误，看学生的记录和计算怎样变化：

动手试试：量热实验中的失误会使 ΔH 偏大还是偏小？

8.00 g NH₄NO₃ 固体溶于泡沫杯中的 100.0 g 水，起始温度 22.0 °C，溶解吸热，溶液变冷。学生按溶液质量 108.0 g、比热容 4.18 J/(g·°C)、n(NH₄NO₃) = 8.00 ÷ 80 = 0.100 mol 计算。

学生的记录和计算

失误的大小是示意的：金属杯使降温只有正常的 85%，比热容的真实值取 3.90 J/(g·°C)。溶解焓 +25.69 kJ/mol 取自 CRC 手册（无限稀释）。

例题 1：由溶解数据求 ΔH

把 4.00 g NaOH 固体溶于 96.0 g 水中，温度从 21.0 °C 升到 31.6 °C。设溶液的比热容为 4.18 J/(g·°C)，求 NaOH 的溶解焓。

分步解析

  1. 求溶液吸收的热量。 溶液的质量是 NaOH 和水的总质量，温度升高 31.6 − 21.0 = 10.6 °C（热量单位 J）：

    m=4.00+96.0=100.0q溶液=mcΔT=100.0×4.18×10.6=4.43×103\begin{aligned} m &= 4.00 + 96.0 = 100.0 \\ q_\text{溶液} &= mc\Delta T \\ &= 100.0 \times 4.18 \times 10.6 \\ &= 4.43 \times 10^3 \end{aligned}

  2. 由能量守恒求溶解放出的热量。 溶液得到的热量来自溶解过程，两者符号相反（单位 J，即 −4.43 kJ）：

    q溶解=−q溶液=−4.43×103\begin{aligned} q_\text{溶解} &= -q_\text{溶液} \\ &= -4.43 \times 10^3 \end{aligned}

  3. 求 NaOH 的物质的量。

    n(NaOH)=4.0040.0=0.100 moln(\ce{NaOH}) = \frac{4.00}{40.0} = 0.100\ \text{mol}

  4. 求溶解焓。 ΔH 是每摩尔的热量：

    ΔH=q溶解n=−4.430.100=−44.3 kJ/mol\begin{aligned} \Delta H &= \frac{q_\text{溶解}}{n} = \frac{-4.43}{0.100} \\ &= \boxed{-44.3\ \text{kJ/mol}} \end{aligned}

  5. 检查。 符号为负，和“溶液变热、放热”一致；数值与 CRC 手册的 −44.51 kJ/mol 相近，差别来自热量散失和把溶液比热容近似为水的值。

例题 2：体积加倍会怎样？

实验 1：50.0 mL 1.0 mol/L HCl 与 50.0 mL 1.0 mol/L NaOH 混合，温度升高 ΔT₁，放出热量 X。实验 2：两种溶液都用 100.0 mL，浓度不变。比较两次的 ΔT、放出的热量和算出的 ΔH。

分步解析

  1. 比较反应的量。 浓度不变、体积加倍，HCl 和 NaOH 的物质的量都加倍，生成的水加倍，放出的热量是 2X。

  2. 比较溶液的质量。 实验 2 的溶液总体积 200.0 mL，是实验 1 的 2 倍，质量也是 2 倍。

  3. 比较 ΔT。 由 q = mcΔT：

    ΔT2=2X(2m)c=Xmc=ΔT1\begin{aligned} \Delta T_2 &= \frac{2X}{(2m)c} \\ &= \frac{X}{mc} = \Delta T_1 \end{aligned}

    热量和质量都加倍，ΔT 不变。

  4. 比较 ΔH。 ΔH 是每摩尔反应的热量：

    ΔH2=−2X2n=−Xn=ΔH1\Delta H_2 = \frac{-2X}{2n} = \frac{-X}{n} = \Delta H_1

    两次算出的 ΔH 相同。

  5. 小结。

    • 放出的热量：2 倍（广度性质）
    • ΔT：不变
    • ΔH（每摩尔）：不变
练一练：这样做（或这个失误），算出的 ΔH 的绝对值会偏大、偏小还是不变？
  1. 泡沫杯换成了导热的金属杯，热量散失
  2. 温度计的零点不准，每次读数都比真实温度低 1.2 °C
  3. 温度还在上升时就读了最高温度
  4. 计算时只用了水的质量，没有加上溶质的质量
  5. 用过量反应物的物质的量（比限量反应物多）去除
  6. 溶液真实的比热容比 4.18 小，但计算时仍用 4.18
  7. 没有计入量热计本身吸收的热量
  8. 固体溶质有一部分没有溶解，计算时却按全部溶解
  9. 两种溶液的体积都加倍（浓度不变）

常见误区

误区 1：“q 是正的，所以反应吸热。” 先弄清楚 q 指谁。溶液温度升高时 q溶液 > 0，这些热量来自反应，q反应 < 0，反应放热。

误区 2：“两种溶液都加倍，温度升高也加倍。” 放出的热量加倍，但要加热的溶液也加倍，ΔT 不变。

误区 3：“热容和比热容是一回事。” 比热容是每克物质的性质；热容是整个物体的，C = m·c。100 g 水的热容是 10 g 水的 10 倍，比热容却相同。

即时小测

25.0 mL 2.00 mol/L HCl 与 25.0 mL 2.00 mol/L NaOH 混合，温度从 20.0 °C 升到 33.4 °C。溶液质量 50.0 g，c = 4.18 J/(g·°C)。中和反应的 ΔH 约为？

实验 1 用 50 mL 1.0 mol/L HCl 和 50 mL 1.0 mol/L NaOH，放出热量 X；实验 2 用 50 mL 1.0 mol/L HCl 和 100 mL 1.0 mol/L NaOH，放出热量 Y。X 和 Y 的关系是？

上面的实验中，8.00 g NH₄NO₃ 溶于 100.0 g 水，温度下降约 5.7 °C。要做一个冰袋，让 100.0 g 水的温度下降约 11 °C，大约需要多少 NH₄NO₃？

用量热法测反应的 ΔH。除了溶液的质量、温度变化和限量反应物的物质的量外，还必须知道？

弹式量热计（浸在水中的密闭钢筒）整体的热容为 10.0 kJ/°C。0.500 g 蔗糖在其中完全燃烧，温度升高 0.825 °C。每克蔗糖燃烧放出多少能量？

做中和反应的量热实验时，下列哪种改动会使温度升高得更多，而算出的 ΔH 不变？

50.0 g 水从 21.6 °C 升到 28.4 °C，c = 4.18 J/(g·°C)。按正确的有效数字，水吸收的热量是？

AP 自由作答题

AP 风格自由作答题

学生把 50.0 mL 0.500 mol/L HCl 与 75.0 mL 0.500 mol/L NaOH 在泡沫杯中混合，起始温度都是 22.0 °C，最高温度为 24.7 °C。设溶液的密度为 1.00 g/mL，比热容为 4.18 J/(g·°C)。

(a) 哪种反应物是限量反应物？生成了多少摩尔水？

(b) 计算溶液吸收的热量。

(c) 计算中和反应的 ΔH（kJ/mol），注意符号和有效数字。

(d) 如果改用 100.0 mL 0.500 mol/L NaOH（HCl 不变），预测温度升高多少，说明理由。

(e) 如果学生计算时只把盐酸的 50.0 g 当作溶液的质量，(c) 算出的 ΔH 会偏大还是偏小（指绝对值）？

参考答案与评分要点

(a) n(HCl) = 0.0250 mol，n(NaOH) = 0.0375 mol，HCl 是限量反应物，生成 0.0250 mol 水。

(b) m = 125.0 g；q溶液 = 125.0 × 4.18 × 2.7 = 1.4 × 10³ J（1411 J）。

(c) ΔH = −1.41 kJ ÷ 0.0250 mol = −56 kJ/mol（ΔT 只有两位有效数字）。

(d) 生成的水仍是 0.0250 mol，放出的热量相同（1411 J），但溶液变成 150.0 g：ΔT = 1411 J ÷ (150.0 g × 4.18 J/(g·°C)) = 2.25 °C，约 2.3 °C，比原来小（也可以按比例：2.7 °C × 125.0 ÷ 150.0）。

(e) 偏小。实际吸热升温的是 125.0 g 溶液，计算时 m 只用了 50.0 g，算出的放热量只有实际的 2/5，ΔH 的绝对值偏小。

评分要点： (a) 限量反应物和 n；(b) 质量包括两种溶液；(c) 符号、除以 n、有效数字；(d) 热量不变、质量增大；(e) 偏小及理由（m 偏小）。

小结

  • 比热容 c（每克）、热容 C = m·c（整个物体）、摩尔热容（每摩尔）；q = m·c·ΔT。
  • 泡沫杯量热计：q反应 = −m溶液·c·ΔT；ΔH = q反应 ÷ n，n 用限量反应物。溶液变热，反应放热，ΔH < 0。
  • 两种溶液的体积都加倍：热量加倍，ΔT 和 ΔH（每摩尔）不变。
  • 误差分析：先看失误怎样影响 ΔT、m 或 n，再判断结果偏大还是偏小；两次读数的相同偏差会抵消。

AP 提示： 计算时写清楚 q 指的是溶液还是反应，最后的 ΔH 要带符号和单位 kJ/mol。注意有效数字：温度差常常决定了结果只有两三位有效数字。

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