热传递与热平衡Heat Transfer and Thermal Equilibrium

大思想 · 能量（ENE）AP 科学实践 6 · 论证AP 衔接 · Unit 6约 40 分钟

学习目标

  • 用粒子碰撞解释热量从高温物体传向低温物体，直到达到热平衡（温度相同、粒子平均动能相同）
  • 用能量守恒说明隔热体系中一方放出的热量等于另一方吸收的热量，并计算最终温度
  • 用热容 m·c 比较两个物体的温度变化

前置知识

  • 能量、热与温度（2.10.1）
  • 比热容与 q = mcΔT（2.10.3）
  • 分子运动论（U3.5）

粒子层面的热传递

温度反映粒子的平均动能（U3.5）。把热的物体和冷的物体放在一起，接触面上的粒子不断碰撞：平均来说，动能大的粒子把一部分能量传给动能小的粒子。这种因温度不同而传递的能量就是热heat, q。

所以热量总是从高温物体流向低温物体：高温物体的粒子平均动能减小，温度下降；低温物体的粒子平均动能增大，温度上升。直到两者温度相同，达到热平衡thermal equilibrium。

热平衡时：

  • 两种物质的粒子平均动能相同，不管粒子的质量是否相同；
  • 粒子仍在运动、仍在碰撞，只是双方之间不再有净的能量传递；
  • 每种物质中的粒子仍然有快有慢，相同的只是平均值。

能量守恒：放出的热量 = 吸收的热量

在隔热的容器中，热量不会散失到外界，所以：

q放出=−q吸收m1c1(Tf−T1)=−m2c2(Tf−T2)q_{\text{放出}} = -q_{\text{吸收}} \qquad m_1c_1(T_{\text{f}} - T_1) = -m_2c_2(T_{\text{f}} - T_2)

由此可以解出最终温度：

Tf=m1c1T1+m2c2T2m1c1+m2c2T_{\text{f}} = \frac{m_1c_1T_1 + m_2c_2T_2}{m_1c_1 + m_2c_2}

谁的温度变化大？

两者交换的热量大小相同，所以温度变化的大小与热容heat capacity m·c 成反比：m·c 小的一方，温度变化大。同样质量的铜和水接触时，铜的比热容（0.385 J/(g·°C)）只有水（4.18 J/(g·°C)）的十分之一左右，所以铜的温度变化大得多，最终温度更接近水原来的温度。

选择两种物质、质量和起始温度，看最终温度；再看两份气体混合时能量分布怎样变化：

动手试试：两样东西接触，最后的温度是多少？
物体 1
物体 2

例题 1：金属块放入水中

把 95.0 °C 的 50.0 g 铜块放入隔热杯中 22.0 °C 的 100.0 g 水里。求最终温度，并说明哪一方的温度变化大。比热容：铜 0.385 J/(g·°C)，水 4.18 J/(g·°C)（OpenStax 表 5.1）。

分步解析

  1. 列能量守恒。 隔热杯中，铜放出的热量 = 水吸收的热量，即两者的 q 加起来为 0（q = mcΔT）：

    q铜+q水=0q_\text{铜} + q_\text{水} = 0

  2. 先算两者的热容 mc。 单位 J/°C：

    (mc)铜=50.0×0.385=19.25(mc)水=100.0×4.18=418\begin{aligned} (mc)_\text{铜} &= 50.0 \times 0.385 = 19.25 \\ (mc)_\text{水} &= 100.0 \times 4.18 = 418 \end{aligned}

  3. 代入，解出最终温度 T。

    19.25(T−95.0)+418(T−22.0)=0\begin{aligned} &19.25(T - 95.0) \\ &+ 418(T - 22.0) = 0 \end{aligned} T=19.25×95.0+418×22.019.25+418=25.2 ∘C\begin{aligned} T &= \frac{19.25 \times 95.0 + 418 \times 22.0}{19.25 + 418} \\ &= \boxed{25.2\ ^\circ\text{C}} \end{aligned}

  4. 比较温度变化。

    铜:95.0−25.2=69.8水:25.2−22.0=3.2\begin{aligned} \text{铜} &: 95.0 - 25.2 = 69.8 \\ \text{水} &: 25.2 - 22.0 = 3.2 \end{aligned}

    铜的温度变化大得多。

  5. 检验并解释。 两者交换的热量相同（单位 J）：

    19.25×69.8=1.34×103418×3.2=1.34×103\begin{aligned} 19.25 \times 69.8 &= 1.34 \times 10^3 \\ 418 \times 3.2 &= 1.34 \times 10^3 \end{aligned}

    热量相同而铜的热容只有水的约 1/22，所以铜的温度变化大得多。

例题 2：两份水混合

把 50.0 °C 的 60.0 g 水与 15.0 °C 的 40.0 g 水在隔热杯中混合。求最终温度。

分步解析

  1. 列能量守恒。 热水放出的热量 = 冷水吸收的热量：

    60.0c(T−50.0)+40.0c(T−15.0)=0\begin{aligned} &60.0c(T - 50.0) \\ &+ 40.0c(T - 15.0) = 0 \end{aligned}

  2. 约去比热容。 同一种物质，c 相同，两边约去：

    60.0(T−50.0)+40.0(T−15.0)=0\begin{aligned} &60.0(T - 50.0) \\ &+ 40.0(T - 15.0) = 0 \end{aligned}

  3. 解出 T。

    T=60.0×50.0+40.0×15.0100.0=36.0 ∘C\begin{aligned} T &= \frac{60.0 \times 50.0 + 40.0 \times 15.0}{100.0} \\ &= \boxed{36.0\ ^\circ\text{C}} \end{aligned}

    这正是按质量加权的平均温度。

  4. 判断是否合理。 36.0 °C 在 15.0 °C 和 50.0 °C 之间，并且更接近质量较大的那份热水的温度。

  5. 检验热量。 单位 J：

    放出=60.0×4.18×14.0=3.51×103吸收=40.0×4.18×21.0=3.51×103\begin{aligned} \text{放出} &= 60.0 \times 4.18 \times 14.0 \\ &= 3.51 \times 10^3 \\ \text{吸收} &= 40.0 \times 4.18 \times 21.0 \\ &= 3.51 \times 10^3 \end{aligned}

    相等。

练一练：两者在隔热容器中达到热平衡，哪一方的温度变化大？
  1. A：10 g 铜；B：10 g 水
  2. A：100 g 铝；B：100 g 金
  3. A：10 g 水；B：20 g 水
  4. A：50 g 水；B：50 g 乙醇
  5. A：20 g 水；B：20 g 水
  6. A：200 g 铁（m·c = 89.8 J/°C）；B：20 g 水（m·c = 83.6 J/°C）
  7. A：100 g 铜；B：10 g 铜
  8. A：50 g 铁；B：50 g 铝

常见误区

误区 1：“温度变化大的一方，交换的热量也多。” 两者交换的热量大小相同。温度变化大，只说明它的热容 m·c 小。

误区 2：“达到热平衡后，粒子停止运动（或停止碰撞）。” 粒子一直在运动、碰撞。热平衡只说明双方之间没有净的热量传递。

误区 3：“热平衡时，质量大的原子平均动能更大。” 温度相同，平均动能就相同，与粒子的质量无关。质量大的粒子平均速率较小而已。

即时小测

把热的铁块放入隔热容器中的冷水里，直到达到热平衡。下列说法正确的是？

把 30.0 °C 的 80.0 g 水与 70.0 °C 的 20.0 g 水混合（隔热）。最终温度是？

200 g 铁锅和 200 g 水各从炉灶吸收了 5.0 kJ 热量（都没有发生相变）。谁的温度升得多？（c铁 = 0.449，c水 = 4.18 J/(g·°C)）

两份物质的量相同的氩气，温度分别为 300 K 和 500 K，在隔热容器中混合。达到热平衡后：

热量从热水流向冷水，从粒子层面看，最好的解释是？

100 g 铜块和 10 g 铝块的温度都是 50 °C，把它们紧靠在一起（隔热）。会发生什么？

AP 自由作答题

AP 风格自由作答题

为鉴定一种金属，学生把 75.0 g 的金属块放在沸水中加热到 100.0 °C，然后迅速放入隔热杯中 21.0 °C 的 150.0 g 水里。达到热平衡时温度为 25.0 °C。

(a) 热量从哪里流向哪里？从粒子的角度说明原因。

(b) 计算水吸收的热量（c水 = 4.18 J/(g·°C)）。

(c) 计算金属的比热容。

(d) 根据比热容表（铝 0.897、铁 0.449、铜 0.385、金 0.129 J/(g·°C)），这种金属最可能是什么？

(e) 学生把金属块从沸水移到杯中花了几秒，金属块放入水中时实际只有约 97 °C，但计算时仍用 100.0 °C。算出的比热容会偏大还是偏小？说明理由。

参考答案与评分要点

(a) 从金属流向水。金属原子的平均动能较大，与水分子碰撞时把能量传给水分子，直到两者温度相同。

(b) q水 = 150.0 g × 4.18 J/(g·°C) × (25.0 − 21.0) °C = 2.51 × 10³ J。

(c) 金属放出的热量 = 2.51 × 10³ J：c = 2508 J ÷ (75.0 g × 75.0 °C) = 0.446 J/(g·°C)。

(d) 铁（0.449 J/(g·°C)）。

(e) 偏小。水吸收的热量是按实际测得的，但金属实际的温度下降（约 97 − 25.0 °C）比计算用的 75.0 °C 小；同样的热量除以偏大的 ΔT，算出的比热容偏小。

评分要点： (a) 方向和碰撞传能；(b) q水；(c) 用 q放出 = q吸收 求 c；(d) 鉴定；(e) 偏小及理由。

小结

  • 热量通过粒子碰撞从高温物体传给低温物体，直到温度相同（热平衡）；热平衡时平均动能相同，粒子仍在运动和碰撞。
  • 隔热体系中，一方放出的热量等于另一方吸收的热量：m₁c₁(Tf − T₁) = −m₂c₂(Tf − T₂)。
  • 交换的热量相同时，热容 m·c 小的一方温度变化大。
  • 最终温度是按 m·c 加权的平均温度，介于两个起始温度之间。

AP 提示： 比较温度变化时，比较的是 m·c，而不只是比热容或只是质量。解释热平衡时，用“平均动能相同、没有净的能量传递”，不要说粒子停止运动。

练一练这一章：Unit 6 · 热化学 · 12 道题练一练这个 topic：U6.3 · 热传递与热平衡 · 6 道题

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