理想气体定律Ideal Gas Law

大思想 · 结构与性质（SAP）AP 科学实践 5 · 数学运算AP 衔接 · Unit 3约 45 分钟

学习目标

  • 用 PV = nRT 求压强、体积、物质的量或温度，并由气体的密度求摩尔质量
  • 用道尔顿分压定律和摩尔分数计算混合气体中各组分的分压（P_A = X_A·P_总），包括从粒子图读出摩尔分数
  • 读懂描述气体性质之间关系的图像，预测改变一个条件时压强怎样变化

前置知识

  • 理想气体方程 PV = nRT（2.8.4）
  • 道尔顿分压定律（2.8.5）
  • 固体、液体与气体（U3.3）

一个方程，很多用法

2.8 章学过气体定律和理想气体方程。AP U3.4 要求你把 PV = nRT 用得又快又准：在各种单位之间换算，由密度求摩尔质量，处理混合气体的分压，并且会读气体性质之间关系的图像和粒子图。

PV = nRT

PV=nRTPV = nRT

AP 公式表给出 R = 8.314 J/(mol·K) = 0.08206 L·atm/(mol·K) = 62.36 L·torr/(mol·K)。选哪个 R 由压强的单位决定；体积用 L，温度必须用 K（T = t + 273.15）。STP（0 °C、1 atm）时 1 mol 理想气体的体积是 22.4 L。

改变一个条件、其他条件不变时，压强怎样变化，可以直接从方程看出来：P 和 n、T 成正比，和 V 成反比。

由密度求摩尔质量

把 n = m/M 代入 PV = nRT，再用密度 d = m/V：

M=dRTPM = \frac{dRT}{P}

同温同压下，气体的密度和摩尔质量成正比。测出一种未知气体的密度，就能算出它的摩尔质量，进而推测它是什么气体。

混合气体：分压和摩尔分数

混合气体中，每种气体都充满整个容器，好像其他气体不存在一样，它单独产生的压强叫分压partial pressure。总压等于各组分分压之和（道尔顿分压定律）：

P总=PA+PB+⋯P_\text{总} = P_A + P_B + \cdots PA=XA⋅P总,XA=nAn总P_A = X_A \cdot P_\text{总}, \qquad X_A = \frac{n_A}{n_\text{总}}

X 是摩尔分数mole fraction。同一容器中，各气体的 T、V 相同，所以分压之比等于物质的量之比，也等于粒子图中粒子个数之比。

红色粒子 4 个、蓝色粒子 8 个

如果这个容器中的总压是 1.50 atm，红色气体的摩尔分数是 4/12 = 1/3，分压是 1/3 × 1.50 = 0.500 atm；蓝色气体的分压是 1.00 atm。

两个装有不同气体的容器用阀门相连，打开阀门后，每种气体都充满两个容器的总体积。温度不变时，对每种气体用 P₁V₁ = P₂V₂ 就能求出它的分压：

动手试试：打开两个容器之间的阀门
左边的容器
右边的容器

反应引起的压强变化

刚性容器中、温度不变时，P ∝ n（气体的总物质的量）。反应使气体分子变少，压强就变小；变多，压强就变大：

2 CO+OX2→点燃2 COX2\ce{2CO + O2 ->[\text{点燃}] 2CO2}

2.0 mol CO 和 1.0 mol OX2\ce{O2} 恰好完全反应，气体从 3.0 mol 变成 2.0 mol，恢复到原来的温度后，压强变为原来的 2/3。如果容器上有能自由移动的活塞（压强和温度不变），变化的就是体积：V ∝ n，活塞向内移动。判断时只看气体的物质的量：反应前后质量守恒，不影响压强；理想气体分子本身的大小也不影响压强。

排水集气

在水面上收集的气体中混有水蒸气（2.8.5 节）：P(气体) = P(大气) − P(水蒸气)。要求出收集到的气体的物质的量，需要知道：气体的体积、水温（用来查水的蒸气压，并换算成 K）和大气压。集气瓶中水的质量用不上。

气体关系的图像

保持不变关系画成直线（过原点）
n、TP ∝ 1/V（玻意耳定律）P 对 1/V
n、PV ∝ T（T 用 K）V 对 T
n、VP ∝ T（T 用 K）P 对 T
T、VP ∝ nP 对 n

如果用摄氏温度作横轴，V 对 t 仍是直线，但不过原点，外推到 −273.15 °C 时体积为零。

动手试试：气体定律实验台（0.100 mol 气体）

例题 1：由密度鉴别气体

一种未知气体在 0 °C、1.00 atm 时的密度是 1.25 g/L。求它的摩尔质量，并推测它可能是哪种气体。

分步解析

  1. 由 PV = nRT 推出含密度的公式。 代入 n = m/M，再用 d = m/V：

    PV=mMRTM=mRTPV=dRTP\begin{gathered} PV = \frac{m}{M}RT \\ M = \frac{mRT}{PV} = \frac{dRT}{P} \end{gathered}

  2. 代入数值。 T = 273.15 K，压强用 atm，R 取 0.08206 L·atm/(mol·K)：

    M=(1.25)(0.08206)(273.15)1.00=28.0 g/mol\begin{aligned} M &= \frac{(1.25)(0.08206)(273.15)}{1.00} \\ &= \boxed{28.0\ \text{g/mol}} \end{aligned}

  3. 推测。 摩尔质量约 28 g/mol 的常见气体有 NX2\ce{N2}（28.02）、CO（28.01）、CX2HX4\ce{C2H4}（28.05）。

  4. 注意。 只凭摩尔质量不能确定是哪一种，还需要其他性质（如能否燃烧、能否使溴水褪色）。

例题 2：打开阀门

2.00 L 的容器中装有 1.50 atm 的 He，3.00 L 的容器中装有 0.500 atm 的 NX2\ce{N2}，两个容器用阀门相连，温度相同且保持不变。打开阀门后，求各气体的分压、总压和 He 的摩尔分数。

分步解析

  1. 每种气体都充满两个容器的总体积。 总体积 2.00 + 3.00 = 5.00 L。对每种气体，n 和 T 不变，用 P₁V₁ = P₂V₂：

    PHe=(1.50)(2.00)5.00=0.600PNX2=(0.500)(3.00)5.00=0.300\begin{aligned} P_\text{He} &= \frac{(1.50)(2.00)}{5.00} = 0.600 \\ P_{\ce{N2}} &= \frac{(0.500)(3.00)}{5.00} = 0.300 \end{aligned}

  2. 总压。 道尔顿分压定律：

    P总=0.600+0.300=0.900 atm\begin{aligned} P_\text{总} &= 0.600 + 0.300 \\ &= \boxed{0.900\ \text{atm}} \end{aligned}

  3. He 的摩尔分数。 同温下 n ∝ PV，用打开阀门前的数据：

    (PV)He=(1.50)(2.00)=3.00(PV)NX2=(0.500)(3.00)=1.50XHe=3.003.00+1.50=0.667\begin{aligned} (PV)_\text{He} &= (1.50)(2.00) = 3.00 \\ (PV)_{\ce{N2}} &= (0.500)(3.00) = 1.50 \\ X_\text{He} &= \frac{3.00}{3.00 + 1.50} = \boxed{0.667} \end{aligned}

  4. 检验。 用 P_A = X_A·P_总 反过来算：0.667 × 0.900 = 0.600 atm，和第 1 步相同。

例题 3：杜马法测摩尔质量

用杜马法测一种无色易挥发液体的摩尔质量：把少量液体放进已称重的烧瓶，用扎有小孔的铝箔盖住，放在沸水浴中；液体全部汽化后，多余的蒸气从小孔逸出，烧瓶中留下的是充满烧瓶的蒸气。取出冷却，蒸气凝结成液体，再称量。数据：烧瓶容积 251.0 mL，水浴温度 99.8 °C，大气压 748 mmHg，凝结的液体 0.696 g。元素分析得到这种物质的实验式是 CX3HX7\ce{C3H7}。求它的摩尔质量和分子式。

分步解析

  1. 想清楚测的是什么。 烧瓶里的蒸气处在水浴的温度和大气压下，体积等于烧瓶的容积；冷却后凝结的液体的质量，就是这些蒸气的质量。

  2. 统一单位。

    P=748760=0.9842 atmV=0.2510 LT=372.95 K\begin{gathered} P = \frac{748}{760} = 0.9842\ \text{atm} \\ V = 0.2510\ \text{L} \\ T = 372.95\ \text{K} \end{gathered}

  3. 求蒸气的物质的量。

    n=PVRT=(0.9842)(0.2510)(0.08206)(372.95)=8.07×10−3 mol\begin{aligned} n &= \frac{PV}{RT} = \frac{(0.9842)(0.2510)}{(0.08206)(372.95)} \\ &= 8.07 \times 10^{-3}\ \text{mol} \end{aligned}

  4. 求摩尔质量。

    M=mn=0.6968.07×10−3=86.2 g/mol\begin{aligned} M &= \frac{m}{n} = \frac{0.696}{8.07 \times 10^{-3}} \\ &= \boxed{86.2\ \text{g/mol}} \end{aligned}

  5. 由实验式求分子式。 CX3HX7\ce{C3H7} 的式量是 3 × 12.01 + 7 × 1.008 = 43.09：

    86.243.09=2.00分子式为 CX6HX14\begin{gathered} \frac{86.2}{43.09} = 2.00 \\ \text{分子式为 } \boxed{\ce{C6H14}} \end{gathered}

  6. 想一想误差。 如果取出烧瓶时还有少量液体没有汽化，称得的质量偏大，而 n 由 PV/RT 算出、不受影响，所以 M 偏大。分析误差的思路是：先判断哪个测量值偏了、往哪个方向偏，再看它在公式中的位置。

练一练：只改变下面的条件（其他条件不变），压强怎样变化？
  1. 体积不变，温度从 300 K 升到 450 K
  2. 温度不变，体积从 2 L 变为 4 L
  3. 体积、温度不变，再充入同种气体
  4. 体积、温度不变，充入 He 后，原来那种气体的分压
  5. 体积、温度不变，充入 He 后的总压
  6. 体积减半，同时热力学温度加倍
  7. 体积加倍，同时热力学温度加倍
  8. 放出一半气体，同时体积减半
  9. 体积不变，温度从 27 °C 降到 −73 °C
  10. 体积不变，温度从 10 °C 升到 20 °C

常见误区

误区 1：“温度用摄氏度代入 PV = nRT。” 必须用热力学温度。从 10 °C 升到 20 °C，压强只增大约 3.5%，不是变为 2 倍。

误区 2：“加入另一种气体，原来那种气体的分压会变小。” 体积和温度不变时，原来那种气体的物质的量没变，分压也不变。变小的是它的摩尔分数，变大的是总压。

误区 3：“同温同压下，质量相同的气体体积相同。” 同温同压下，物质的量相同的气体体积相同（阿伏加德罗定律）。1 g HX2\ce{H2} 的体积是 1 g OX2\ce{O2} 的 16 倍。

即时小测

0.500 mol 气体装在 4.00 L 的容器中，温度为 27 °C。下列哪个算式能求出它的压强（atm）？

一个容器中的混合气体由 3 个红色粒子和 9 个蓝色粒子组成（粒子图），总压是 2.40 atm。红色气体的分压是多少？

一个容器中装有质量相同的 He 和 Ne，总压是 1.20 atm。He 的分压最接近？

某气体在 STP（0 °C、1 atm）时的密度是 1.96 g/L。它最可能是？

刚性容器中装有 NX2\ce{N2}。温度不变，再充入一些 He。NX2\ce{N2} 的分压怎样变化？理由是什么？

刚性容器中，2.0 mol CO 和 1.0 mol OX2\ce{O2} 完全反应生成 COX2\ce{CO2}，然后恢复到原来的温度。容器中的压强怎样变化？

地面上（1.00 atm、300 K）一个气球的体积是 2.0 L。它升到高空，那里的压强是 0.50 atm、温度是 250 K（气球内外压强相同）。气球的体积最接近？

用排水法在水面上收集一瓶 HX2\ce{H2}，要求出它的物质的量。下列哪个数据不需要？

一定量的气体，温度不变。下列哪个图像是一条过原点的直线？

压强不变，一定量气体从 100 °C 加热到 200 °C，体积变为原来的多少倍？

AP 自由作答题

AP 风格自由作答题

一个 5.00 L 的刚性容器中装有 0.200 mol NX2\ce{N2} 和 0.100 mol OX2\ce{O2}，温度是 27 °C。

(a) 计算容器中的总压。

(b) 计算 OX2\ce{O2} 的分压。

(c) 温度不变，再向容器中充入 0.100 mol He。计算新的总压，并说明 OX2\ce{O2} 的分压和摩尔分数怎样变化。

(d) 从粒子的角度解释，为什么充入 He 后 OX2\ce{O2} 的分压不变。

参考答案与评分要点

(a) n(总) = 0.300 mol，T = 300.15 K。P = nRT/V = 0.300 × 0.08206 × 300.15 ÷ 5.00 ≈ 1.48 atm。

(b) X(OX2\ce{O2}) = 0.100 ÷ 0.300 = 1/3，P(OX2\ce{O2}) = 1/3 × 1.48 ≈ 0.493 atm（也可以直接用 P = nRT/V 算）。

(c) n(总) = 0.400 mol，P(总) = 0.400 × 0.08206 × 300.15 ÷ 5.00 ≈ 1.97 atm。OX2\ce{O2} 的分压不变，仍约 0.493 atm；摩尔分数从 1/3 降到 0.100 ÷ 0.400 = 0.250。

(d) OX2\ce{O2} 分子的数目、容器的体积和温度都没变，所以 OX2\ce{O2} 分子撞击器壁的频率和力度都没变；理想气体中 He 分子和 OX2\ce{O2} 分子之间没有作用，He 只增加了自己的那一部分压强。

评分要点： (a) 温度换成 K、结果约 1.48 atm；(b) 约 0.493 atm；(c) 约 1.97 atm，分压不变、摩尔分数变为 0.250；(d) 说出“OX2\ce{O2} 的 n、V、T 不变，碰撞器壁的情况不变”。

小结

  • PV = nRT：温度用 K，R 按压强的单位选；P 和 n、T 成正比，和 V 成反比。
  • 由密度求摩尔质量：M = dRT/P。
  • 混合气体：P(总) = 各分压之和；P_A = X_A·P(总)；同一容器中分压之比 = 物质的量之比 = 粒子个数之比。
  • 刚性容器、温度不变时 P ∝ n：反应使气体分子变少，压强就变小；活塞能自由移动时，变化的是体积。
  • P 对 1/V、V 对 T（K）、P 对 T（K）、P 对 n 都是过原点的直线。

AP 提示： 计算题注意三件事：温度换成 K；R 和压强的单位一致；有效数字按题目的数据保留。概念题常问“改变一个条件，压强（或分压）怎样变化”：先写出 P = nRT/V，再看哪些量变了。

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