Beer-Lambert 定律Beer-Lambert Law

大思想 · 结构与性质（SAP）AP 科学实践 5 · 数学运算AP 衔接 · Unit 3约 50 分钟

学习目标

  • 用 A = εbc 说明吸光度和摩尔吸光系数、光程、浓度的关系，并进行计算
  • 用标准溶液作标准曲线，由斜率求 εb，由未知溶液的吸光度求浓度和物质的量
  • 分析常见的实验误差（比色皿上的水珠或指纹、没有调零、波长不对、光程不同、吸光度超出范围）对算出的浓度的影响

前置知识

  • 摩尔浓度（2.9.2）
  • 稀释（2.9.3）
  • 光谱与电磁波谱（U3.11）

用光测浓度

有色溶液越浓，颜色越深，吸收的光越多。分光光度计spectrophotometer就是利用这一点测浓度的：光源发出的光先选出一种波长，穿过装着溶液的比色皿cuvette，检测器测出透过的光有多少。

射入的光强记作 I₀，透过的光强记作 I。仪器给出的吸光度absorbance是：

A=log⁡I0IA = \log \frac{I_0}{I}

A = 0 表示没有吸收；A = 1 表示只透过 10%；A = 2 表示只透过 1%。吸光度没有单位。

比尔–朗伯定律

A=εbcA = \varepsilon b c
  • ε 是摩尔吸光系数molar absorptivity，单位 L·mol⁻¹·cm⁻¹，由物质和波长决定；
  • b 是光程path length，即光穿过溶液的距离，单位 cm（常用的比色皿是 1.00 cm）；
  • c 是浓度，单位 mol/L。

波长和比色皿不变时，A 和 c 成正比。这就是用吸光度测浓度的依据。

测量的要点

  1. 调零。 先把只装溶剂的比色皿（空白blank）放进仪器，把吸光度调成 0，扣除溶剂和比色皿本身的吸收。
  2. 选波长。 从吸收光谱上选吸收最强的波长 λmax（U3.11）：这里 ε 最大，测量最灵敏。标准溶液和样品必须在同一波长下测。
  3. 比色皿。 先用待测溶液润洗；手拿磨砂面，擦干净透光面；光路上不能有气泡。
  4. 被测物质要吸收这种光。 可见光分光光度计适合测有色物质。例如 2 NO+OX2→2 NOX2\ce{2NO + O2 -> 2NO2} 中只有 NOX2\ce{NO2} 是红棕色的，测吸光度就能跟踪 NOX2\ce{NO2} 的生成；无色的反应物和产物用可见光测不出来。
  5. 吸光度不能太大。 样品的 A 超出最浓的标准溶液时，要先定量稀释再测，最后乘以稀释倍数。

标准曲线

实际测量时，ε 往往不知道。先配几份浓度已知的标准溶液standard solutions，在同一波长、同一光程下测吸光度，以 c 为横坐标、A 为纵坐标作图，得到一条几乎过原点的直线，叫标准曲线calibration curve。

  • 斜率 = εb，光程已知就能求出 ε；
  • 测出未知溶液的 A，由直线求出 c；
  • 再用 n = cV 求物质的量，用 m = nM 求质量。
🔧 数学工具卡 · 斜率与线性关系会了可以跳过

斜率。 在直线上取两个相距较远的点 (c₁, A₁) 和 (c₂, A₂)，斜率 = (A₂ − A₁) ÷ (c₂ − c₁)。取直线上的点，而不是某个偏离直线的数据点。A 没有单位，c 的单位是 mol/L，所以斜率的单位是 L/mol。

截距。 调零正确时，直线应该几乎经过原点。

由纵坐标求横坐标。 已知 A 求 c：c = (A − 截距) ÷ 斜率；截距约为 0 时，c = A ÷ 斜率。

一条标准曲线经过 (1.0 × 10⁻⁵ mol/L, 0.20) 和 (4.0 × 10⁻⁵ mol/L, 0.80) 两点。它的斜率是？

用一种假设的染料 Y 试一试：改变浓度、光程和波长；作标准曲线求未知溶液的浓度；再看几种操作失误的影响：

动手试试：分光光度计和比尔–朗伯定律

染料 Y（假设的数据）：λmax = 620 nm，在 620 nm 处 ε = 2.00 × 10⁴ L·mol⁻¹·cm⁻¹。

光程 b：
450550650750012波长（nm）ε（10⁴ L·mol⁻¹·cm⁻¹）

实验误差：先看 A，再看 c

分析误差分两步：这个失误让测得的 A 偏大还是偏小？由 c = A ÷ 斜率，算出的浓度就跟着偏高或偏低。

情况测得的 A算出的浓度
比色皿里残留水珠，样品被稀释偏小偏低
透光面上有指纹，或光路上有气泡偏大偏高
没有用空白调零偏大偏高
测样品时波长偏离 λmax（标准曲线在 λmax 作）偏小偏低
样品用了光程更长的比色皿偏大偏高
比色皿里多倒了一些溶液不变不变
配标准溶液时加水超过刻度线标准溶液的 A 偏小，斜率偏小偏高

最后一行要多想一步：标准溶液的实际浓度比标签上的小，测得的 A 偏小，标准曲线的斜率偏小；未知溶液的 A 没有问题，除以偏小的斜率，算出的浓度就偏高。

例题 1：由标准曲线求物质的量

在 λmax 下用 1.00 cm 的比色皿测定染料 Z 的标准溶液（假设的数据）：

c（10⁻⁵ mol/L）1.002.003.004.00
A0.1500.3000.4500.600

把一份固体样品溶于水，配成 250.0 mL 溶液，测得 A = 0.390。求染料 Z 的摩尔吸光系数、溶液的浓度和样品中染料 Z 的物质的量。

分步解析

  1. 求标准曲线的斜率。 取直线上相距较远的两点：

    斜率=0.600−0.150(4.00−1.00)×10−5=1.50×104 L/mol\begin{aligned} \text{斜率} &= \frac{0.600 - 0.150}{(4.00 - 1.00) \times 10^{-5}} \\ &= 1.50 \times 10^{4}\ \text{L/mol} \end{aligned}

  2. 摩尔吸光系数。 A = εbc，斜率 = εb：

    ε=斜率b=1.50×1041.00=1.50×104 L/(mol⋅cm)\begin{aligned} \varepsilon &= \frac{\text{斜率}}{b} = \frac{1.50 \times 10^{4}}{1.00} \\ &= \boxed{1.50 \times 10^{4}\ \text{L/(mol·cm)}} \end{aligned}

  3. 样品溶液的浓度。

    c=Aεb=0.3901.50×104=2.60×10−5 mol/L\begin{aligned} c &= \frac{A}{\varepsilon b} = \frac{0.390}{1.50 \times 10^{4}} \\ &= \boxed{2.60 \times 10^{-5}\ \text{mol/L}} \end{aligned}

  4. 物质的量。 用整份溶液的体积（250.0 mL），不是比色皿中的体积：

    n=cV=(2.60×10−5)(0.2500)=6.50×10−6 mol\begin{aligned} n &= cV \\ &= (2.60 \times 10^{-5})(0.2500) \\ &= \boxed{6.50 \times 10^{-6}\ \text{mol}} \end{aligned}

例题 2：吸光度太大

用例题 1 的标准曲线测另一份溶液，得 A = 1.80，远超出最浓的标准溶液（A = 0.600）。学生用移液管取 5.00 mL 这份溶液，在 25.00 mL 容量瓶中定容，测得 A = 0.360。求原溶液的浓度。如果测稀释液时比色皿里残留了水珠，结果会怎样？

分步解析

  1. 为什么要稀释。 A = 1.80 时只透过约 1.6% 的光，读数误差大，而且超出了标准曲线的范围，不能确定直线关系还成立。

  2. 稀释液的浓度。

    c稀=Aεb=0.3601.50×104=2.40×10−5 mol/L\begin{aligned} c_\text{稀} &= \frac{A}{\varepsilon b} = \frac{0.360}{1.50 \times 10^{4}} \\ &= 2.40 \times 10^{-5}\ \text{mol/L} \end{aligned}

  3. 乘以稀释倍数。 稀释倍数 = 25.00 mL ÷ 5.00 mL = 5：

    c原=5×2.40×10−5=1.20×10−4 mol/L\begin{aligned} c_\text{原} &= 5 \times 2.40 \times 10^{-5} \\ &= \boxed{1.20 \times 10^{-4}\ \text{mol/L}} \end{aligned}

  4. 水珠的影响。 水珠把稀释液又稀释了一点，测得的 A 偏小，c稀 偏小，乘以 5 后的结果也偏低。

例题 3：吸收重叠时选波长

用丙酮从 0.500 g 菠菜叶中提取色素，定容为 25.00 mL。提取液中主要是叶绿素 a，还有少量叶绿素 b，两者都吸光。下表是它们在几个波长下的摩尔吸光系数（数据为示意，单位 10⁴ L/(mol·cm)）：

波长（nm）430453642662
叶绿素 a11.04.02.58.6
叶绿素 b6.015.05.21.0

要测叶绿素 a 的含量，应选哪个波长？在这个波长下用 1.00 cm 比色皿测得 A = 0.430，忽略叶绿素 b 的吸收，求叶片中叶绿素 a 的质量分数（M = 893.5 g/mol）。

分步解析

  1. 选波长的两个条件。 待测物质吸收要强（灵敏、相对误差小），干扰物质吸收要弱（测得的 A 几乎全是待测物质的）。

  2. 逐个比较。 430 nm 时 a 吸收最强，但 b 也很强；453 nm 和 642 nm 时 b 比 a 还强；662 nm 时 a 的 ε 是 8.6 × 10⁴，b 只有 1.0 × 10⁴，干扰最小，选它。

  3. 提取液中叶绿素 a 的浓度。

    c=Aεb=0.4308.6×104=5.0×10−6 mol/L\begin{aligned} c &= \frac{A}{\varepsilon b} = \frac{0.430}{8.6 \times 10^{4}} \\ &= 5.0 \times 10^{-6}\ \text{mol/L} \end{aligned}

  4. 物质的量（mol）和质量（g）。 用整份提取液的体积 25.00 mL：

    n=(5.0×10−6)(0.02500)=1.25×10−7m=(1.25×10−7)(893.5)=1.12×10−4\begin{aligned} n &= (5.0 \times 10^{-6})(0.02500) \\ &= 1.25 \times 10^{-7} \\ m &= (1.25 \times 10^{-7})(893.5) \\ &= 1.12 \times 10^{-4} \end{aligned}

  5. 质量分数。

    w=1.12×10−40.500×100%=0.022%\begin{aligned} w &= \frac{1.12 \times 10^{-4}}{0.500} \times 100\% \\ &= \boxed{0.022\%} \end{aligned}

  6. 想一想误差。 叶绿素 b 在 662 nm 仍有一点吸收，忽略它会使测得的 A 偏大一点，结果略微偏高；b 越少，误差越小。

练一练：算出的浓度会怎样？
  1. 比色皿透光面上有指纹
  2. 比色皿里残留了水珠
  3. 没有用空白调零（空白的吸光度为正值）
  4. 测样品时波长偏离了 λmax（标准曲线在 λmax 作）
  5. 标准溶液用 1.00 cm 的比色皿，样品用 2.00 cm 的
  6. 比色皿里的溶液多倒了一些（光路上都是溶液）
  7. 配标准溶液时，定容加水超过了刻度线
  8. 光路上的比色皿内壁附着气泡
  9. 测定前样品被意外加了水，计算时没有考虑
  10. 比色皿放反了，磨砂面挡在光路上
  11. 换用同样规格、同样干净的另一只比色皿

常见误区

误区 1：“吸光度越大，透过的光越多。” 正好相反。A = log(I₀/I)，吸收得越多，透过的越少，A 越大。

误区 2：“用哪个波长测都一样。” ε 随波长变化。在 λmax 处 ε 最大，测量最灵敏；而且标准溶液和样品必须在同一波长下测，否则不能用同一条标准曲线。

误区 3：“比色皿里的溶液越多，吸光度越大。” A = εbc，决定吸光度的是光程和浓度，不是溶液的体积。只要光路上都是溶液，多倒少倒没有影响。

即时小测

某物质在测定波长下的 ε = 1.20 × 10⁴ L·mol⁻¹·cm⁻¹（假设的数据），用 1.00 cm 的比色皿测得 A = 0.360。溶液的浓度是？

以浓度 c 为横坐标、吸光度 A 为纵坐标作标准曲线。直线的斜率等于？

用分光光度计测一种有色溶液的浓度。下列哪项信息最用不上？

下列哪个反应最适合用可见光分光光度计跟踪反应进行的程度？

学生用蒸馏水洗过比色皿后，没有用待测溶液润洗，就装入样品测定。算出的浓度会怎样？理由是什么？

未知溶液的吸光度是 1.90，超出了标准曲线的范围（最浓的标准溶液 A = 0.80）。最合适的做法是？

AP 自由作答题

AP 风格自由作答题

用分光光度计测定一种饮料中蓝色染料的浓度。在 λmax 下用 1.00 cm 的比色皿测得标准溶液的数据如下（假设的数据）：

c（10⁻⁶ mol/L）2.004.006.008.00
A0.1800.3620.5380.720

(a) 由标准曲线的斜率求这种染料的摩尔吸光系数，写出单位。

(b) 饮料样品的吸光度是 0.450。求饮料中染料的浓度。

(c) 一罐饮料的体积是 355 mL。求一罐饮料中染料的物质的量。

(d) 测饮料样品时，比色皿透光面上留有指纹。算出的浓度偏高还是偏低？说明理由。

(e) 这种染料的溶液呈蓝色。它的 λmax 最可能在哪种颜色的光的范围内？为什么要在 λmax 下测定？

参考答案与评分要点

(a) 斜率 = (0.720 − 0.180) ÷ (8.00 × 10⁻⁶ − 2.00 × 10⁻⁶) mol/L = 9.00 × 10⁴ L/mol（用最佳拟合直线得到 8.9 × 10⁴ 到 9.1 × 10⁴ 都可以）。ε = 斜率 ÷ b = 9.00 × 10⁴ L·mol⁻¹·cm⁻¹。

(b) c = A ÷ 斜率 = 0.450 ÷ (9.00 × 10⁴ L/mol) = 5.00 × 10⁻⁶ mol/L。

(c) n = cV = (5.00 × 10⁻⁶ mol/L)(0.355 L) = 1.78 × 10⁻⁶ mol。

(d) 偏高。指纹会吸收、散射一部分光，到达检测器的光变少，测得的 A 偏大，由 c = A ÷ 斜率算出的浓度偏高。

(e) 在橙光范围内。看到的蓝色是没被吸收的光，被吸收的主要是它的互补色橙光。在 λmax 处 ε 最大，同样的浓度变化引起的吸光度变化最大，测量最灵敏。

评分要点： (a) 9.00 × 10⁴ L·mol⁻¹·cm⁻¹，有单位；(b) 5.00 × 10⁻⁶ mol/L；(c) 1.78 × 10⁻⁶ mol；(d) 偏高，并说明 A 偏大；(e) 橙光，并说明 ε 最大、最灵敏。

小结

  • 吸光度 A = log(I₀/I)；比尔–朗伯定律 A = εbc，波长和光程不变时 A 和 c 成正比。
  • 测量前用空白调零，在 λmax 下测定；标准溶液和样品用同一波长、同一光程。
  • 标准曲线：A 对 c 作图，斜率 = εb；由未知溶液的 A 求 c，再由 n = cV 求物质的量。
  • 误差分析先看 A 偏大还是偏小：水珠、波长偏离 λmax 使 A 偏小；指纹、气泡、没有调零、光程更长使 A 偏大；溶液的体积没有影响。A 太大时定量稀释后再测。

AP 提示： 误差分析题要写出两步：失误怎样影响测得的吸光度，再由 A = εbc（或 c = A ÷ 斜率）说明算出的浓度偏高还是偏低。“溶液的体积”“比色皿里溶液的多少”通常是用不上的干扰信息。

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