光电效应Photoelectric Effect

大思想 · 结构与性质（SAP）AP 科学实践 5 · 数学运算AP 衔接 · Unit 3约 40 分钟

学习目标

  • 用 E = hν 和 c = λν 在光子的能量、频率和波长之间换算，并换算成每摩尔光子的能量
  • 由金属的逸出功求阈值频率和阈值波长，判断哪些颜色的光能打出电子
  • 用光子模型解释光电效应：只有能量超过阈值的光子才能打出电子，光强决定电子的数目，频率决定电子的最大动能

前置知识

  • 电磁波与光谱（c = λν、E = hν）（2.2.2）
  • 光电子能谱（PES）（U1.6）
  • 光谱与电磁波谱（U3.11）

光照在金属上，打出电子

在真空中用光照射干净的金属表面，有时会有电子从金属中飞出来，这种现象叫光电效应photoelectric effect，飞出的电子叫光电子。把它们收集起来就形成电流。2.2.2 节提过一个奇怪的结果：再强的红光也打不出电子，很弱的紫外光却能立刻打出电子。实验的规律是：

  1. 每种金属都有一个阈值频率threshold frequency ν₀。频率低于 ν₀ 的光，不论多强、照多久，都打不出电子。
  2. 频率高于 ν₀ 时，即使光很弱，电子也立刻被打出来。
  3. 频率不变时，光越强，每秒打出的电子越多。
  4. 电子的最大动能随光的频率增大而增大，和光强无关。

如果光只是波，光越强能量越大，足够强的红光迟早应该能把电子打出来。规律 1 和 4 说明，决定能不能打出电子的是每份能量的大小，而不是总的能量。

光子模型

爱因斯坦用光子解释了光电效应：光由光子组成，每个光子的能量 E = hν。一个光子只能把能量全部交给一个电子。电子要离开金属，至少需要一定的能量，这个最小能量叫逸出功work function Φ（也叫阈值能量）。

  • hν < Φ：光子能量不够，电子出不来。光再强也只是光子更多，每个光子的能量都不够。能量也不会在电子上积攒起来。
  • hν ≥ Φ：电子被打出，多余的能量变成电子的动能：
KEmax⁡=hν−Φ\text{KE}_{\max} = h\nu - \Phi
  • 光恰好能打出电子时 hν₀ = Φ，所以阈值频率和阈值波长是：
ν0=Φhλ0=hcΦ\nu_0 = \frac{\Phi}{h} \qquad \lambda_0 = \frac{hc}{\Phi}

光强只改变每秒照来的光子数，所以只改变打出的电子数。U1.6 的光电子能谱用的是同一个关系：已知光子的能量，测出电子的动能，就能求出电子的结合能。

几种金属的逸出功

下表的逸出功取自 Wikipedia “Work function” 中的表（引自 CRC Handbook 2008 版）。1 eV = 1.602 × 10⁻¹⁹ J。逸出功和金属表面的状态有关，不同资料的数值略有出入。

金属Φ（eV）Φ（J）阈值波长 λ₀λ₀ 落在
Cs1.953.12 × 10⁻¹⁹636 nm红光
K2.293.67 × 10⁻¹⁹542 nm绿光
Na2.754.41 × 10⁻¹⁹451 nm蓝光
Ca2.874.60 × 10⁻¹⁹432 nm紫光
Mg3.665.86 × 10⁻¹⁹339 nm紫外光
Pb4.256.81 × 10⁻¹⁹292 nm紫外光

波长短于 λ₀ 的光（频率高于 ν₀）才能打出电子。例如钾的 λ₀ = 542 nm，所以蓝光、紫光能从钾中打出电子，红光、黄光不能；镁和铅只有紫外光才行。

选一种金属，拖动光的波长和光强，看能不能打出电子、电子的最大动能是多少：

动手试试：光电效应
金属：
048121602468光的频率 ν（10¹⁴ Hz）电子的最大动能（10⁻¹⁹ J）

逸出功取自 Wikipedia “Work function” 表（引自 CRC Handbook 2008 版），真实金属的逸出功和表面状态有关。图中每种金属都是斜率为 h 的直线，和横轴交于阈值频率 ν₀。

最大动能–频率图像

把 KE_max = hν − Φ 画成图像，横轴是光的频率，纵轴是电子的最大动能：

  • 每种金属都是一条斜率为 h 的直线，不同金属的直线互相平行；
  • 直线和横轴的交点是阈值频率 ν₀，逸出功越大，交点越靠右；
  • 频率低于 ν₀ 时没有电子，图像上没有点。

例题 1：钠的阈值

钠的逸出功是 2.75 eV。求阈值频率和阈值波长，并判断 650 nm 的红光、532 nm 的绿光和 410 nm 的紫光中，哪些能从钠中打出电子。

分步解析

  1. 把逸出功换算成焦耳。 1 eV = 1.602 × 10⁻¹⁹ J：

    Φ=2.75×1.602×10−19=4.41×10−19 J\begin{aligned} \Phi &= 2.75 \times 1.602 \times 10^{-19} \\ &= 4.41 \times 10^{-19}\ \text{J} \end{aligned}

  2. 阈值频率。 光子能量恰好等于逸出功时，hν₀ = Φ：

    ν0=Φh=4.41×10−196.626×10−34=6.65×1014 Hz\begin{aligned} \nu_0 &= \frac{\Phi}{h} = \frac{4.41 \times 10^{-19}}{6.626 \times 10^{-34}} \\ &= \boxed{6.65 \times 10^{14}\ \text{Hz}} \end{aligned}

  3. 阈值波长。

    λ0=cν0=3.00×1086.65×1014=4.51×10−7 m=451 nm\begin{aligned} \lambda_0 &= \frac{c}{\nu_0} = \frac{3.00 \times 10^{8}}{6.65 \times 10^{14}} \\ &= 4.51 \times 10^{-7}\ \text{m} \\ &= \boxed{451\ \text{nm}} \end{aligned}

  4. 判断。 波长越短，光子能量越大。只有波长短于 451 nm 的光能打出电子：410 nm 的紫光可以；532 nm 的绿光和 650 nm 的红光不行，不论光多强。

例题 2：光强和频率的作用

用 400 nm 的光照射钾（Φ = 3.67 × 10⁻¹⁹ J）。求打出的电子的最大动能。把光强加倍会怎样？换成 600 nm 的光又会怎样？

分步解析

  1. 光子能量。

    E=hcλ=(6.626×10−34)(3.00×108)4.00×10−7=4.97×10−19 J\begin{aligned} E &= \frac{hc}{\lambda} \\ &= \frac{(6.626 \times 10^{-34})(3.00 \times 10^{8})}{4.00 \times 10^{-7}} \\ &= 4.97 \times 10^{-19}\ \text{J} \end{aligned}

  2. 最大动能。 光子能量的一部分用来克服逸出功，剩下的成为电子的动能：

    KEmax=E−Φ=(4.97−3.67)×10−19=1.30×10−19 J\begin{aligned} KE_\text{max} &= E - \Phi \\ &= (4.97 - 3.67) \times 10^{-19} \\ &= \boxed{1.30 \times 10^{-19}\ \text{J}} \end{aligned}

  3. 光强加倍。 每秒到达的光子数加倍，每秒打出的电子数加倍；每个光子的能量不变，所以最大动能仍是 1.30 × 10⁻¹⁹ J。

  4. 换成 600 nm。 E = hc/λ = 3.31 × 10⁻¹⁹ J，小于 Φ，打不出电子；光再强也一样。

练一练：能打出电子吗？
  1. 铯（λ₀ = 636 nm），用 589 nm 的黄光照射
  2. 钾（λ₀ = 542 nm），用很强的 650 nm 红光照射
  3. 钾（λ₀ = 542 nm），用很弱的 450 nm 蓝光照射
  4. 钠（λ₀ = 451 nm），用 532 nm 的绿光照射
  5. 钠（λ₀ = 451 nm），用 405 nm 的紫光照射
  6. 镁（λ₀ = 339 nm），用任何一种可见光照射
  7. 镁（λ₀ = 339 nm），用 254 nm 的紫外光照射
  8. 铅（λ₀ = 292 nm），用 300 nm 的紫外光照射
  9. Φ = 3.0 × 10⁻¹⁹ J 的金属，光子能量 3.5 × 10⁻¹⁹ J
  10. Φ = 4.0 × 10⁻¹⁹ J 的金属，光子能量 2.0 × 10⁻¹⁹ J，照射很长时间
  11. 钙（ν₀ = 6.94 × 10¹⁴ Hz），用频率 8.0 × 10¹⁴ Hz 的光照射

常见误区

误区 1：“光越强，打出的电子能量越大。” 光强只改变光子的数目，也就是打出的电子数。每个电子的最大动能 KE_max = hν − Φ，只由频率决定。

误区 2：“照得时间够长，频率低于阈值的光也能打出电子。” 一个电子一次只吸收一个光子的能量，能量不会积攒。光子能量小于逸出功，照多久都没有电子。

误区 3：“波长越长，光子的能量越大。” E = hc/λ，波长越长，能量越小。所以阈值波长 λ₀ 是能打出电子的最长波长，波长要比它短才行。

即时小测

分别用红光、绿光和紫光照射镁（λ₀ = 339 nm）。结果是？

用频率高于阈值频率的光照射一种金属。频率不变，把光强加倍，结果是？

再强的红光也不能从钠中打出电子。最好的解释是？

某金属的逸出功为 4.41 × 10⁻¹⁹ J。它的阈值频率约为？

两种金属 A、B 的电子最大动能–光的频率图像都是直线，A 的直线和横轴交于 5.5 × 10¹⁴ Hz，B 的交于 8.8 × 10¹⁴ Hz。下列说法正确的是？

用 250 nm 的紫外光照射铅（Φ = 6.81 × 10⁻¹⁹ J）。打出的电子的最大动能约为？

AP 自由作答题

AP 风格自由作答题

钙的逸出功是 2.87 eV（1 eV = 1.602 × 10⁻¹⁹ J）。

(a) 把逸出功换算成焦耳。

(b) 计算钙的阈值波长，并说明它落在哪种颜色的光的范围内（紫光约 380–450 nm）。

(c) 用 350 nm 的紫外光照射钙，计算打出的电子的最大动能。

(d) 光的波长仍是 350 nm，光强减半。每秒打出的电子数和电子的最大动能分别怎样变化？说明理由。

(e) 一位学生预测：“用 500 nm 的光照射钙，只要光足够强，就能打出电子。”评价这个预测。

参考答案与评分要点

(a) Φ = 2.87 × 1.602 × 10⁻¹⁹ J = 4.60 × 10⁻¹⁹ J。

(b)

λ0=hcΦ=(6.626×10−34 J⋅s)(3.00×108 m/s)4.60×10−19 J=4.32×10−7 m=432 nm\lambda_0 = \frac{hc}{\Phi} = \frac{(6.626 \times 10^{-34}\ \text{J·s})(3.00 \times 10^{8}\ \text{m/s})}{4.60 \times 10^{-19}\ \text{J}} = 4.32 \times 10^{-7}\ \text{m} = 432\ \text{nm}

落在紫光的范围内。

(c) E = hc/λ = (6.626 × 10⁻³⁴)(3.00 × 10⁸) ÷ (3.50 × 10⁻⁷) J = 5.68 × 10⁻¹⁹ J；KE_max = 5.68 × 10⁻¹⁹ J − 4.60 × 10⁻¹⁹ J = 1.08 × 10⁻¹⁹ J。

(d) 每秒打出的电子数减半：光强减半，每秒照来的光子数减半。最大动能不变：每个光子的能量 hν 不变，KE_max = hν − Φ 也不变。

(e) 预测错误。500 nm 的光子能量 E = hc/λ = 3.98 × 10⁻¹⁹ J，小于逸出功 4.60 × 10⁻¹⁹ J（也可以说 500 nm 长于阈值波长 432 nm）。一个电子一次只吸收一个光子，光再强也只是光子更多，每个光子的能量都不够，所以打不出电子。

评分要点： (a) 4.60 × 10⁻¹⁹ J；(b) 432 nm，紫光；(c) 1.08 × 10⁻¹⁹ J；(d) 电子数减半、最大动能不变，各有理由；(e) 比较光子能量和逸出功，并指出光强不能弥补。

小结

  • 光电效应：频率高于阈值频率 ν₀ 的光才能打出电子；光强只决定电子数，频率决定电子的最大动能。
  • 光子模型：一个光子把能量 hν 交给一个电子；KE_max = hν − Φ，ν₀ = Φ/h，λ₀ = hc/Φ。
  • 波长要短于 λ₀（光子能量大于 Φ）才能打出电子；能量不会积攒。
  • KE_max–ν 图像是斜率为 h 的直线，和横轴交于 ν₀；不同金属的直线互相平行。

AP 提示： 判断能否打出电子，要比较“一个光子的能量”和逸出功（阈值能量），不要比较光的总能量或光强。计算时注意单位：波长换成 m，eV 换成 J，最后检查答案的数量级（可见光光子约 10⁻¹⁹ J）。

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