摩尔与摩尔质量Moles and Molar Mass

大思想 · 数量与比例（SPQ）AP 科学实践 5 · 数学运算AP 衔接 · Unit 1约 45 分钟

学习目标

  • 说出物质的量、摩尔、阿伏加德罗常数和摩尔质量的含义，解释为什么一个粒子的质量（u）和 1 mol 粒子的质量（g）数值相同
  • 以量纲分析的方式，用摩尔质量、阿伏加德罗常数和密度在质量、体积、物质的量、粒子数和原子（离子）数之间换算
  • 用估算判断哪个结果“最接近”、哪个算式正确，并按有效数字报告结果

前置知识

  • 相对分子质量（1.5.5）
  • 量纲分析（多步换算）（2.1.2）
  • 摩尔与阿伏加德罗常数（2.6.1）
  • 质量、物质的量、粒子数的换算（2.6.2）

数不过来，就称

一滴水大约 0.050 g。这滴水里有多少个水分子？答案约是 1.7×10211.7 \times 10^{21} 个，就算每秒数一个，也要数上 5 万亿年。

化学反应是一个一个粒子之间发生的，可实验室里谁也数不了粒子，只能称质量、量体积。所以化学家需要一座“桥”：一头连着能称的质量，一头连着看不见的粒子个数。这座桥就是物质的量。

2.6.1、2.6.2 节已经学过物质的量的基本换算。这一节按 AP 的考法把它们串起来，重点放在三件事上：用量纲分析列式，用估算挑出“最接近”的答案，以及说清楚“为什么”。

物质的量与摩尔

物质的量amount of substance表示含有一定数目粒子的集合体，符号是 nn，单位是摩尔mole，符号 mol。

1 mol 任何粒子含有的粒子数都相同，这个数叫做阿伏加德罗常数Avogadro’s number，符号 NAN_A：

NA=6.022×1023 mol−1N_A = 6.022 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}

2019 年起，国际单位制直接把它规定为 6.02214076×1023 mol−16.02214076 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}，是一个准确值。人教版课本常取 6.02×10236.02 \times 10^{23}，AP 考试的公式表给的是 6.022×10236.022 \times 10^{23}，本单元用后者。

粒子数 NN、物质的量 nn 和 NAN_A 的关系是：

N=n⋅NAN = n \cdot N_A

“摩尔”和“一打”的道理一样：一打鸡蛋是 12 个，一打铅笔也是 12 个；1 mol 水分子是 6.022×10236.022 \times 10^{23} 个，1 mol 铁原子也是 6.022×10236.022 \times 10^{23} 个。所以说“1 mol”时一定要说清楚是什么粒子：1 mol O 原子和 1 mol OX2\ce{O2} 分子不是一回事，后者含有 2 mol O 原子。

离子化合物没有分子。像 NaCl 这样的物质，化学式只表示离子的个数比，它的“一个粒子”指一个化学式单元formula unit：一个 NaCl 单元 = 1 个 NaX+\ce{Na+} + 1 个 ClX−\ce{Cl-}。

结晶水合物的化学式单元包括结晶水。一个 CuSOX4 ⋅ 5 HX2O\ce{CuSO4.5H2O} 单元含 1 个 Cu、1 个 S、4 + 5 = 9 个 O 和 10 个 H，所以 1 mol 胆矾含 9 mol O 原子。数原子时别漏了点后面的部分。

摩尔质量：为什么 u 和 g 的数值一样

1.3.5 节说过，原子的质量用原子质量单位 u 来量最方便：一个碳-12 原子的质量规定为 12 u。而 1 mol 碳-12 原子的质量正好是 12 g。这不是巧合，而是 NAN_A 选得正好：

1 u×NA=1.6605×10−24 g×6.022×1023≈1 g1\ \text{u} \times N_A = 1.6605 \times 10^{-24}\ \text{g} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 1\ \text{g}

所以一个粒子的平均质量是多少 u，1 mol 这种粒子的质量就是多少 g。单位物质的量的物质所具有的质量叫做摩尔质量molar mass，符号 MM，单位 g/mol：

n=mMn = \frac{m}{M}
物质一个粒子的平均质量1 mol 的质量摩尔质量
C12.01 u（一个原子）12.01 g12.01 g/mol
HX2O\ce{H2O}18.02 u（一个分子）18.02 g18.02 g/mol
NaCl58.44 u（一个化学式单元）58.44 g58.44 g/mol

AP 考试附的周期表上，原子量一般保留两位小数（H 是 1.008），本单元的计算都用这些值，比阶段一、二常用的整数（H 1、Cl 35.5）更精确。算摩尔质量的方法和 1.5.5 节算相对分子质量完全一样，只是多了单位 g/mol：

M(HX2O)=2×1.008+16.00=18.02 g/molM(\ce{H2O}) = 2 \times 1.008 + 16.00 = 18.02\ \text{g/mol}

为什么碳是 12.01 而不是 12？因为天然的碳里混有约 1% 的碳-13，周期表上的值是各同位素的加权平均。下一节（U1.2）用质谱图把这件事看清楚。

一张换算路线图

把上面两个公式连起来，就是一条路线，物质的量站在正中间：

质量 m ⇄（÷ M 或 × M）⇄ 物质的量 n ⇄（× NA 或 ÷ NA）⇄ 粒子数 N ⇄（× 或 ÷ 下标）⇄ 原子或离子数

  • 质量和粒子数之间不能直接换算，一定要经过物质的量。
  • 每一步都写成换算因子，单位（连同物质的化学式）上下约掉，这就是 2.1.2 节的量纲分析。
  • 最后一步用化学式的下标：1 个 HX2O\ce{H2O} 分子里有 2 个 H 原子，1 个 CaClX2\ce{CaCl2} 单元里有 2 个 ClX−\ce{Cl-}。下标是数出来的准确数，不影响有效数字。

选一种物质，输入已知量，再选要求的量，看看路线怎么走、算式怎么列：

动手试试：选一种物质，输入已知量，看换算路线和量纲分析算式
m质量（g）
⇄
n物质的量（mol）
⇄
N粒子数
⇄
N′原子或离子数

给的是体积怎么办？

液体和固体的体积不能直接换成物质的量，要先用密度换成质量，再走上面的路线。1 mol 物质所占的体积叫做它的摩尔体积：

Vm=MρV_m = \frac{M}{\rho}

水：18.02 g/mol ÷ 1.00 g/mL = 18.0 mL/mol；乙醇（CX2HX5OH\ce{C2H5OH}）：46.07 g/mol ÷ 0.789 g/mL = 58.4 mL/mol。所以 1 mol 乙醇比 1 mol 水占的体积大得多，里面的分子数却一样多。

注意：只知道体积和密度，只能算出质量；要算粒子数，还必须知道摩尔质量。人教版的“气体摩尔体积”（标准状况下约 22.4 L/mol）说的是气体，气体的体积和物质的量的关系在 U3.4 学。

例题 1：25.0 g 水里有多少个分子、多少个 H 原子？

分步解析

  1. 理清路线。 已知质量、要求粒子数，中间必须经过物质的量：质量 → 物质的量 → 分子数 → H 原子数。

  2. 求摩尔质量。 把分子中各原子的相对原子质量加起来（单位 g/mol）：

    M(HX2O)=2×1.008+16.00=18.02\begin{aligned} M(\ce{H2O}) &= 2 \times 1.008 + 16.00 \\ &= 18.02 \end{aligned}

  3. 质量 → 物质的量。 用 n = m/M，结果的单位是 mol：

    n=mM=25.018.02=1.387\begin{aligned} n &= \frac{m}{M} = \frac{25.0}{18.02} \\ &= 1.387 \end{aligned}

  4. 物质的量 → 分子数。 用 N=nNAN = nN_\text{A}：

    N=nNA=1.387×6.022×1023=8.35×1023\begin{aligned} N &= n N_\text{A} \\ &= 1.387 \times 6.022 \times 10^{23} \\ &= \boxed{8.35 \times 10^{23}} \end{aligned}

    即 25.0 g 水中约有 8.35 × 10²³ 个水分子。

  5. 分子数 → H 原子数。 每个 HX2O\ce{H2O} 分子含 2 个 H 原子：

    N(H)=2×8.35×1023=1.67×1024\begin{aligned} N(\text{H}) &= 2 \times 8.35 \times 10^{23} \\ &= \boxed{1.67 \times 10^{24}} \end{aligned}

  6. 检查有效数字。 25.0 有 3 位，18.02 和 6.022 都有 4 位，下标 2 是准确数，所以结果保留 3 位。

  7. 估算检查。 25 g 比 18 g 多一点，约 1.4 mol；1.4 × 6 ≈ 8.4，分子数约 8 × 10²³，和第 4 步一致。

例题 2：从离子数反推质量

一份 CaClX2\ce{CaCl2} 样品中含有 3.01×10233.01 \times 10^{23} 个 ClX−\ce{Cl-}。这份样品的质量是多少？

分步解析

  1. 理清路线。 这次已知粒子数、要求质量，把例题 1 的路线倒着走：ClX−\ce{Cl-} 数 → CaClX2\ce{CaCl2} 单元数 → 物质的量 → 质量。

  2. 由 ClX−\ce{Cl-} 数求 CaClX2\ce{CaCl2} 单元数。 化学式中下标是 2：每个 CaClX2\ce{CaCl2} 单元含 2 个 ClX−\ce{Cl-}，所以单元数是 ClX−\ce{Cl-} 数的一半：

    N(CaClX2)=3.01×10232=1.505×1023\begin{aligned} N(\ce{CaCl2}) &= \frac{3.01 \times 10^{23}}{2} \\ &= 1.505 \times 10^{23} \end{aligned}

  3. 单元数 → 物质的量。 用 n = N/N_A（单位 mol）：

    n=1.505×10236.022×1023=0.2499\begin{aligned} n &= \frac{1.505 \times 10^{23}}{6.022 \times 10^{23}} \\ &= 0.2499 \end{aligned}

  4. 求摩尔质量。 1 个 Ca 加 2 个 Cl（单位 g/mol）：

    M(CaClX2)=40.08+2×35.45=110.98\begin{aligned} M(\ce{CaCl2}) &= 40.08 + 2 \times 35.45 \\ &= 110.98 \end{aligned}

  5. 物质的量 → 质量。 用 m = nM：

    m=0.2499×110.98=27.7 g\begin{aligned} m &= 0.2499 \times 110.98 \\ &= \boxed{27.7\ \text{g}} \end{aligned}

  6. 估算检查。 3.01 × 10²³ 约是 6.02 × 10²³ 的一半，即 0.500 mol ClX−\ce{Cl-}，对应 0.250 mol CaClX2\ce{CaCl2}；0.25 × 111 ≈ 28 g，对得上。

练一练：比一比，哪一份更多？
  1. 分子数：1.0 g HX2\ce{H2} 和 1.0 g OX2\ce{O2}
  2. 分子数：1.0 mol HX2O\ce{H2O} 和 1.0 mol COX2\ce{CO2}
  3. 原子总数：1.0 mol NHX3\ce{NH3} 和 1.0 mol CHX4\ce{CH4}
  4. O 原子数：16.00 g OX2\ce{O2} 和 16.00 g OX3\ce{O3}
  5. 化学式单元数：1.0 g NaCl 和 1.0 g KCl
  6. ClX−\ce{Cl-} 数：0.50 mol CaClX2\ce{CaCl2} 和 1.0 mol NaCl
  7. 原子数：10.0 g Fe 和 10.0 g Au
  8. 质量：一个 HX2O\ce{H2O} 分子和一个 NHX3\ce{NH3} 分子
  9. Cl 的质量：10.0 g NaCl 和 10.0 g KCl
  10. H 原子数：1 mol CuSOX4 ⋅ 5 HX2O\ce{CuSO4.5H2O} 和 5 mol HX2O\ce{H2O}
  11. 原子数：2.0 mol He 和 1.0 mol NX2\ce{N2}

常见误区

误区 1：“摩尔是质量单位。” 摩尔是“个数”的单位，1 mol 就是 6.022×10236.022 \times 10^{23} 个。1 mol 不同物质的质量各不相同：1 mol HX2\ce{H2} 是 2.016 g，1 mol Au 是 196.97 g。

误区 2：只说“1 mol 氧”。 必须指明粒子：1 mol O 原子是 16.00 g，1 mol OX2\ce{O2} 分子是 32.00 g，1 mol OX3\ce{O3} 分子是 48.00 g。写换算链时，单位后面也要带上化学式，才不会约错。

误区 3：“一个碳原子的质量是 12.01 g。” 12.01 g 是 1 mol 碳原子的质量。一个碳原子的平均质量是 12.01 u，换成克是 12.01 g/mol÷(6.022×1023 mol−1)=1.994×10−2312.01\ \text{g/mol} \div (6.022 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}) = 1.994 \times 10^{-23} g，小得多。

即时小测

下列哪个算式能算出 9.0 g 水中 H 原子的个数？

10.0 g 水（HX2O\ce{H2O}）和 10.0 g 甲醇（CHX3OH\ce{CH3OH}），哪一份含有的分子更多？

要算出一份纯液体样品里有多少个分子，下列哪组数据就足够了？

某物质一个分子的质量是 7.31×10−237.31 \times 10^{-23} g。这种物质最可能是？

AP 自由作答题

AP 风格自由作答题

一位同学有两份样品：10.0 g 镁（Mg）和 10.0 g 铝（Al）。

(a) 哪一份样品含有的原子更多？用计算或推理说明理由。

(b) 这位同学说：“铝的质子数比镁多，所以 1 mol 铝的质量一定比 1 mol 镁大。”这个结论对吗？理由对吗？请解释。

(c) 计算一个铝原子的平均质量（单位 g）。

参考答案与评分要点

(a) 镁的原子更多。两份质量相同，镁的摩尔质量（24.31 g/mol）比铝（26.98 g/mol）小，由 n=m/Mn = m/M，镁的物质的量更大，原子数也更多：

10.0 g24.31 g/mol=0.411 mol Mg\frac{10.0\ \text{g}}{24.31\ \text{g/mol}} = 0.411\ \text{mol Mg}10.0 g26.98 g/mol=0.371 mol Al\frac{10.0\ \text{g}}{26.98\ \text{g/mol}} = 0.371\ \text{mol Al}

即约 2.48×10232.48 \times 10^{23} 个 Mg 原子和 2.23×10232.23 \times 10^{23} 个 Al 原子。

(b) 结论对（26.98 g > 24.31 g），理由不对。摩尔质量取决于原子核里质子和中子的总数，还要按同位素的含量加权平均，不是只看质子数。反例：氩（18 号）的摩尔质量 39.95 g/mol，比钾（19 号）的 39.10 g/mol 还大；碲（52 号，127.60）也比碘（53 号，126.90）大。

(c)

26.98 g/mol6.022×1023 mol−1=4.480×10−23 g\frac{26.98\ \text{g/mol}}{6.022 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}} = 4.480 \times 10^{-23}\ \text{g}

评分要点： (a) 选对并用摩尔质量或物质的量说明理由；(b) 指出中子（或同位素）也贡献质量，给出反例更好；(c) 列式正确、带单位、保留 4 位有效数字。

小结

  • 物质的量 nn 的单位是 mol，1 mol 粒子有 NA=6.022×1023N_A = 6.022 \times 10^{23} 个；N=n⋅NAN = n \cdot N_A。说 mol 时要指明粒子，离子化合物的“一个粒子”是一个化学式单元。
  • 摩尔质量 MM（g/mol）在数值上等于一个粒子的平均质量（u）；n=m/Mn = m/M。
  • 质量和粒子数之间的换算一定经过物质的量；用量纲分析列换算链，单位连同化学式一起约掉，下标用来换算原子或离子数（水合物别漏了结晶水）。
  • 体积要先用密度换成质量；摩尔体积 = 摩尔质量 ÷ 密度。只有体积和密度，算不出粒子数。
  • 结果按已知量和常数的有效数字保留，并用估算检查数量级。

AP 提示： AP 考试的公式表给出 n=m/Mn = m/M 和 NA=6.022×1023 mol−1N_A = 6.022 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}。选择题常问结果“最接近”哪个值，或者“哪个算式”能算出结果；数字一般取得很整，所以会估算（如 25 g 水约 1.4 mol）、会挑出正确的列式，和会算同样重要。解释题常是“结论 + 理由”的形式：结论对、理由错，照样不得分。自由作答题要写出带单位的计算过程，并注意有效数字。U1.2 会解释为什么摩尔质量不是整数；U4.5 的计量计算就是在这条路线中间再加一步“摩尔比”。

练一练这一章：Unit 1 · 原子结构与性质 · 12 道题练一练这个 topic：U1.1 · 摩尔与摩尔质量 · 5 道题

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