计算平衡浓度（ICE 表）Calculating Equilibrium Concentrations (ICE Tables)

大思想 · 转化（TRA）AP 科学实践 5 · 数学运算AP 衔接 · Unit 7约 50 分钟

学习目标

  • 已知 K 和起始浓度，用 ICE 表列出含 x 的方程，求平衡浓度
  • 会用开平方、“x 很小”的近似和一元二次方程三种方法求解，并用 5% 规则检验近似
  • 从方程的两个根中选出有物理意义的一个

前置知识

  • 计算平衡常数（U7.4）
  • K 的大小（U7.5）

反过来用 ICE 表

U7.4 是由平衡数据求 K；这一节反过来，已知 K 和起始浓度，求平衡浓度。步骤：

  1. 列 ICE 表，变化量用 x 表示（计量数 × x）；
  2. 把 E 行代入 K 的表达式，得到一个只含 x 的方程；
  3. 解出 x，再算出各物质的平衡浓度；
  4. 代回去检查 Q 是否等于 K。

三种解法

开平方。 两边都是平方时（例如 Δn = 0、两种反应物起始浓度相同），直接开平方，没有近似。

“x 很小”的近似。 K 很小时，反应物几乎不消耗，c₀ − x ≈ c₀，方程大大简化。算出 x 后要检查：x 不超过 c₀ 的 5% 才能接受这个近似。

一元二次方程。 近似不可用时，把方程整理成 ax² + bx + c = 0，用求根公式。两个根里只有一个有意义：x 要使所有平衡浓度都不为负（通常 0 < x < c₀）。

选一种反应，拖动起始浓度，比较近似解和精确解：

动手试试：用 ICE 表求平衡浓度

例题 1：开平方

800 °C 时 CO(g) + H₂O(g) ⇌ CO₂(g) + H₂(g) 的 K = 0.640。起始 c(CO) = c(H₂O) = 0.100 mol/L，没有生成物。求平衡浓度。

分步解析

  1. 判断方向。 起始时没有生成物，Q = 0 < K，反应正向进行：CO、H₂O 减少，CO₂、H₂ 增加。

  2. 列 ICE 表。 四种物质的计量数都是 1，变化量都是 x（浓度单位 mol/L）：

    COH₂OCO₂H₂
    I0.1000.10000
    C−x−x+x+x
    E0.100 − x0.100 − xxx

  3. 把平衡浓度代入 K。

    K=c(COX2) c(HX2)c(CO) c(HX2O)=x2(0.100−x)2=0.640\begin{aligned} K &= \frac{c(\ce{CO2})\,c(\ce{H2})}{c(\ce{CO})\,c(\ce{H2O})} \\ &= \frac{x^2}{(0.100 - x)^2} = 0.640 \end{aligned}

  4. 两边开平方。 两边都是完全平方，开平方后变成一次方程，不用解二次方程：

    x0.100−x=0.640=0.800\frac{x}{0.100 - x} = \sqrt{0.640} = 0.800

  5. 解出 x。

    x=0.800 (0.100−x)x=0.0800−0.800x1.800x=0.0800x=0.0444\begin{aligned} x &= 0.800\,(0.100 - x) \\ x &= 0.0800 - 0.800x \\ 1.800x &= 0.0800 \\ x &= 0.0444 \end{aligned}

  6. 求平衡浓度。 c(H₂) 与 c(CO₂) 相等，c(H₂O) 与 c(CO) 相等：

    c(COX2)=x=0.0444 mol/Lc(CO)=0.100−x=0.0556 mol/L\begin{aligned} c(\ce{CO2}) &= x = \boxed{0.0444\ \text{mol/L}} \\ c(\ce{CO}) &= 0.100 - x \\ &= \boxed{0.0556\ \text{mol/L}} \end{aligned}

  7. 代回检查。 把平衡浓度代回 K 的表达式：

    (0.0444)2(0.0556)2=1.97×10−33.09×10−3=0.638≈0.640 ✓\begin{aligned} \frac{(0.0444)^2}{(0.0556)^2} &= \frac{1.97 \times 10^{-3}}{3.09 \times 10^{-3}} \\ &= 0.638 \approx 0.640 \ \checkmark \end{aligned}

    差别来自四舍五入，答案正确。

例题 2：近似不可用时

25 °C 时 N₂O₄(g) ⇌ 2NO₂(g) 的 K = 6.3 × 10⁻³。起始 c(N₂O₄) = 0.0200 mol/L。求平衡时 NO₂ 的浓度。

分步解析

  1. 列 ICE 表。 起始只有 N₂O₄，反应正向进行。N₂O₄ 减少 x，NO₂ 按计量数增加 2x（浓度单位 mol/L）：

    N₂O₄2NO₂
    I0.02000
    C−x+2x
    E0.0200 − x2x

  2. 把平衡浓度代入 K。 注意 NO₂ 的浓度是 2x，平方时 2 也要平方：

    K=c2(NOX2)c(NX2OX4)=(2x)20.0200−x=6.3×10−3\begin{aligned} K &= \frac{c^2(\ce{NO2})}{c(\ce{N2O4})} \\ &= \frac{(2x)^2}{0.0200 - x} = 6.3 \times 10^{-3} \end{aligned}

  3. 先试近似。 假设 x ≪ 0.0200，分母取 0.0200：

    4x20.0200=6.3×10−3x2=3.15×10−5x=5.6×10−3\begin{aligned} \frac{4x^2}{0.0200} &= 6.3 \times 10^{-3} \\ x^2 &= 3.15 \times 10^{-5} \\ x &= 5.6 \times 10^{-3} \end{aligned}

  4. 检验近似。 x 占起始浓度的百分数：

    5.6×10−30.0200×100%=28%>5%\frac{5.6 \times 10^{-3}}{0.0200} \times 100\% = 28\% > 5\%

    远超 5%，近似不可用，必须解完整的方程。

  5. 整理成二次方程。 两边乘以 (0.0200 − x)，再把所有项移到一边（先用字母 K，最后再代数值）：

    4x2=K (0.0200−x)4x2+Kx−0.0200K=0\begin{gathered} 4x^2 = K\,(0.0200 - x) \\ 4x^2 + Kx - 0.0200K = 0 \end{gathered}

  6. 用求根公式。 对照 ax² + bx + c = 0：a = 4，b = K = 6.3 × 10⁻³，c = −0.0200K = −1.26 × 10⁻⁴。

    b2=3.97×10−5−4ac=2.016×10−3b2−4ac=2.056×10−3x=−b+b2−4ac2a=−6.3×10−3+0.045348=4.9×10−3\begin{aligned} b^2 &= 3.97 \times 10^{-5} \\ -4ac &= 2.016 \times 10^{-3} \\ b^2 - 4ac &= 2.056 \times 10^{-3} \\ x &= \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ &= \frac{-6.3 \times 10^{-3} + 0.04534}{8} \\ &= 4.9 \times 10^{-3} \end{aligned}

    另一个根（取“−”号）是负数，浓度的变化量不可能使 c(NO₂) 为负，舍去。

  7. 求平衡浓度。

    c(NOX2)=2x=9.8×10−3 mol/Lc(NX2OX4)=0.0200−0.0049=0.0151 mol/L\begin{aligned} c(\ce{NO2}) &= 2x \\ &= \boxed{9.8 \times 10^{-3}\ \text{mol/L}} \\ c(\ce{N2O4}) &= 0.0200 - 0.0049 \\ &= 0.0151\ \text{mol/L} \end{aligned}

  8. 代回检查。 用没有四舍五入的 x = 4.88 × 10⁻³ 计算：

    (9.76×10−3)20.01512=6.30×10−3 ✓\frac{(9.76 \times 10^{-3})^2}{0.01512} = 6.30 \times 10^{-3} \ \checkmark
练一练：用“c₀ − x ≈ c₀”的近似求 x，结果能通过 5% 检验吗？
  1. HA ⇌ H⁺ + A⁻，Ka = 1.8 × 10⁻⁵，c₀ = 0.10 mol/L
  2. HA ⇌ H⁺ + A⁻，Ka = 6.4 × 10⁻⁴，c₀ = 0.010 mol/L
  3. HA ⇌ H⁺ + A⁻，Ka = 6.4 × 10⁻⁴，c₀ = 1.0 mol/L
  4. HA ⇌ H⁺ + A⁻，Ka = 4.9 × 10⁻¹⁰，c₀ = 0.0010 mol/L
  5. N₂ + O₂ ⇌ 2NO，K = 4.1 × 10⁻⁴，起始 N₂、O₂ 都是 0.50 mol/L
  6. N₂O₄ ⇌ 2NO₂，K = 6.3 × 10⁻³，c₀ = 0.010 mol/L
  7. N₂O₄ ⇌ 2NO₂，K = 6.3 × 10⁻³，c₀ = 1.0 mol/L
  8. HA ⇌ H⁺ + A⁻，Ka = 1.8 × 10⁻⁴，c₀ = 0.0050 mol/L

常见误区

误区 1：“只要 K 小于 1，就可以用近似。” 近似是否可用取决于 x 和 c₀ 的比例，要算出来检查。K 不太小、c₀ 又很小时，近似会差得很远。

误区 2：“(2x)² 就是 2x²。” (2x)² = 4x²。生成 2 mol 的物质，浓度是 2x，代入时整个 2x 要平方。

误区 3：“二次方程的两个根都可以。” 只有使所有浓度都不为负的那个根有意义。负根或比 c₀ 还大的根都要舍去。

即时小测

解 x² ÷ (0.10 − x) = 0.50 得到两个根：x = 0.085 和 x = −0.59。平衡时的 x 是？

从纯 HI 出发，2HI(g) ⇌ H₂(g) + I₂(g)，起始 c(HI) = c₀，设 H₂ 增加 x。K 的方程是？

A(g) + B(g) ⇌ C(g) + D(g) 的 K = 9.0。起始 c(A) = c(B) = 1.0 mol/L，没有 C 和 D。平衡时 c(C) 是？

X(g) ⇌ 2Y(g) 的 K = 1.0 × 10⁻⁶，起始 c(X) = 0.25 mol/L。平衡时 c(Y) 约为？

用近似算出 x = 0.012 mol/L，起始浓度 c₀ = 0.10 mol/L。应该怎样做？

下列哪种情况可以直接开平方求解，不需要近似？

AP 自由作答题

AP 风格自由作答题

2000 °C 时 N₂(g) + O₂(g) ⇌ 2NO(g) 的 K = 4.1 × 10⁻⁴（OpenStax）。一个反应器中起始 c(N₂) = 0.040 mol/L，c(O₂) = 0.010 mol/L（和空气的比例相近），没有 NO。

(a) 列出 ICE 表。

(b) 写出求 x 的方程。

(c) 用近似求出平衡时 NO 的浓度。

(d) 检验 (c) 的近似是否可用。

(e) 这个反应的 ΔH = +180.6 kJ/mol（NBS 生成焓）。如果在较低的温度下进行，平衡时 NO 的浓度会更大还是更小？说明理由。

参考答案与评分要点

(a) I：0.040、0.010、0；C：−x、−x、+2x；E：0.040 − x、0.010 − x、2x。

(b) (2x)² ÷ [(0.040 − x)(0.010 − x)] = 4.1 × 10⁻⁴。

(c) 近似 0.040 − x ≈ 0.040，0.010 − x ≈ 0.010：4x² ÷ (4.0 × 10⁻⁴) = 4.1 × 10⁻⁴，x² = 4.1 × 10⁻⁸，x = 2.0 × 10⁻⁴，c(NO) = 2x = 4.0 × 10⁻⁴ mol/L。

(d) x ÷ 0.010 = 2%，不超过 5%，近似可用（精确解也是 4.0 × 10⁻⁴ mol/L）。

(e) 更小。正反应吸热，降温使 K 减小，平衡时生成的 NO 更少。

评分要点： (a) ICE 表；(b) 方程；(c) 近似求解；(d) 用较小的起始浓度做 5% 检验；(e) 吸热反应降温 K 减小。

小结

  • 已知 K 和起始浓度：列 ICE 表 → 写出含 x 的方程 → 解 x → 求平衡浓度 → 代回检查。
  • 完全平方时开平方；K 很小时用 c₀ − x ≈ c₀ 的近似，并检查 x 不超过 c₀ 的 5%；否则解二次方程。
  • 只取使所有浓度都不为负的那个根。

AP 提示： 用了近似一定要写出检验（“x/c₀ = …% < 5%”）。AP 考试很少要求解二次方程，多数题目要么能开平方，要么近似可用；但近似不可用时，要说出来。

练一练这一章：Unit 7 · 平衡 · 12 道题练一练这个 topic：U7.7 · 计算平衡浓度（ICE 表） · 5 道题

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